Seja A=[lll2 & 5 & 0 2 & 2 & 1 2 & a & 4]. Para quais valores de a in R a matriz A é invertível?
(a) Para todo a in R diferente de -7 .
(b) a=-7, apenas.
© a=-14, apenas.
(d) Para todo a in R diferente de -14 .
(e) Não existe a in R com essa propriedade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a matriz é invertível. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos calcular o determinante da matriz e descobrir para quais valores de ele não é zero, já que uma matriz só é invertível se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz quadrada é invertível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Mas, para facilitar, a maneira mais simples de verificar se uma matriz é invertível é calculando o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Caso contrário, não é.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 5 & 0 2 & 2 & 1 2 & a & 4 :
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por co-fatores. Vamos usar a expansão por co-fatores para ficar mais claro.

Passo 4

Escolhemos uma linha ou coluna para expandir. Vou escolher a primeira linha da matriz, que tem os elementos 2, 5 e 0. A fórmula para a expansão por co-fatores na primeira linha é:
det(A) = a11 cdot det(M11) - a12 cdot det(M12) + a13 cdot det(M13)
Onde é a matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e a -ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo ( a11 = 2 ):
M11 = 2 & 1 a & 4
det(M11) = (2)(4) - (1)(a) = 8 - a
2 cdot (8 - a) = 16 - 2a
a12 = 5
  1. Segundo termo ( M12 = 2 & 1 2 & 4 ):
det(M12) = (2)(4) - (1)(2) = 8 - 2 = 6
-5 cdot 6 = -30
a13 = 0
M13 = 2 & 2 2 & a
  1. Terceiro termo ( det(M13) = (2)(a) - (2)(2) = 2a - 4 ):
0 cdot (2a - 4) = 0

Passo 6

Agora, somamos todos os termos para encontrar o determinante:
det(A) = (16 - 2a) + (-30) + 0 = 16 - 2a - 30 = -14 - 2a

Passo 7

Para que a matriz -14 - 2a neq 0 seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
-2a neq 14 a neq 14-2 a neq -7
Vamos resolver essa inequação:

Resposta

A matriz é invertível para todo diferente de . Resposta (a).

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