Considere a base S=v1, v2 de R^2, em que v1=(-2,1) e v2=(1,3) e seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
T(v1)=(-1,2,0) e T(v2)=(0,-3,5)
Encontre uma fórmula para T(x1, x2) e use essa fórmula para obter T(2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares no espaço vetorial. A gente tem uma base T(v1) = (-1, 2, 0) e T(v2) = (0, -3, 5) de , onde e . Além disso, sabemos como a transformação linear age nesses vetores da base:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula geral para que funcione para qualquer vetor em e depois usar essa fórmula para calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Isso significa que qualquer vetor (x1, x2) = a cdot v1 + b cdot v2 em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .
Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Onde e são escalares que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar x1 = -2a + b x2 = a + 3b e . Sabemos que:
Queremos resolver esse sistema para e em termos de e .

Passo 4

Primeiro, da segunda equação:
a = x2 - 3b
Agora, substituímos x1 = -2(x2 - 3b) + b = -2x2 + 6b + b = -2x2 + 7b na primeira equação:
7b = x1 + 2x2 Rightarrow b = x1 + 2x27
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos a = x2 - 3(x1 + 2x27) = 7x2 - 3x1 - 6x27 = -3x1 + x27 de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos T(x1, x2) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) e T(x1, x2) = (-3x1 + x27) cdot (-1, 2, 0) + (x1 + 2x27) cdot (0, -3, 5) , podemos usar a propriedade da transformação linear:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
  • Componente 1:
(-3x1 + x27) cdot (-1) + (x1 + 2x27) cdot 0 = 3x1 - x27
  • Componente 2:
(-3x1 + x27) cdot 2 + (x1 + 2x27) cdot (-3) = -6x1 + 2x2 -3x1 -6x27 = -9x1 -4x27
  • Componente 3:
(-3x1 + x27) cdot 0 + (x1 + 2x27) cdot 5 = 5x1 + 10x27

Passo 8

Juntando tudo, a fórmula para T(x1, x2) = ( 3x1 - x27, -9x1 -4x27, 5x1 + 10x27 ) fica:

Passo 9

Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar 3(2) - (-3)7 = 6 + 37 = 97 . Substituindo -9(2) -4(-3)7 = -18 + 127 = -67 e 5(2) + 10(-3)7 = 10 -307 = -207 :
  • Componente 1:
  • Componente 2:
  • Componente 3:

Resposta

Portanto, .

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