Considere a base
de
, em que
e
e seja
a transformação linear tal que
Encontre uma fórmula para
e use essa fórmula para obter
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares no espaço vetorial. A gente tem uma base
de
, onde
e
. Além disso, sabemos como a transformação linear
age nesses vetores da base:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula geral para
que funcione para qualquer vetor em
e depois usar essa fórmula para calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
.
Então, podemos expressar
da seguinte maneira:
Onde
e
são escalares que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar
e
. Sabemos que:
Queremos resolver esse sistema para
e
em termos de
e
.
Passo 4
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos usar a propriedade da transformação linear:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Vamos calcular cada componente:
- Componente 1:
- Componente 2:
- Componente 3:
Passo 8
Juntando tudo, a fórmula para
fica:
Passo 9
Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar
. Substituindo
e
:
- Componente 1:
- Componente 2:
- Componente 3:
Resposta
Portanto,
.