Considere a base de , em que e e seja a transformação linear tal que
Encontre uma fórmula para e use essa fórmula para obter .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares no espaço vetorial. A gente tem uma base de , onde e . Além disso, sabemos como a transformação linear age nesses vetores da base:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula geral para que funcione para qualquer vetor em e depois usar essa fórmula para calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .
Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Onde e são escalares que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar e . Sabemos que:
Queremos resolver esse sistema para e em termos de e .

Passo 4

Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão para :

Passo 6

Agora que temos e , podemos usar a propriedade da transformação linear:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos calcular cada componente:
  • Componente 1:
  • Componente 2:
  • Componente 3:

Passo 8

Juntando tudo, a fórmula para fica:

Passo 9

Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar . Substituindo e :
  • Componente 1:
  • Componente 2:
  • Componente 3:

Resposta

Portanto, .

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