Considere a base de , em que e e seja a transformação linear tal que
Encontre uma fórmula para e use essa fórmula para obter .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares no espaço vetorial. A gente tem uma base de , onde e . Além disso, sabemos como a transformação linear age nesses vetores da base:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma fórmula geral para que funcione para qualquer vetor em e depois usar essa fórmula para calcular .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que respeita a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base .
Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Onde e são escalares que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar e . Sabemos que:
Queremos resolver esse sistema para e em termos de e .
Passo 4
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão para :
Passo 6
Agora que temos e , podemos usar a propriedade da transformação linear:
Substituindo os valores de e :
Passo 7
Vamos calcular cada componente:
Componente 1:
Componente 2:
Componente 3:
Passo 8
Juntando tudo, a fórmula para fica:
Passo 9
Agora, vamos usar essa fórmula para encontrar . Substituindo e :