Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear
dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos uma equação linear
e precisamos encontrar a forma vetorial da solução geral do sistema
. Depois, usaremos esse resultado para encontrar a solução geral de
. Para isso, vamos precisar entender sistemas lineares e como representá-los vetorialmente.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para uma das incógnitas em termos da outra. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos expressar a solução em termos de vetores. Como temos
livre (pode ser qualquer valor real), podemos parametrizar a solução usando um parâmetro
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Podemos escrever a solução como um vetor:
Isso pode ser separado em uma parte particular e uma solução homogênea:
Passo 5
Agora, para encontrar a solução geral do sistema homogêneo
, apenas consideramos a parte que multiplica o parâmetro
, pois a parte particular corresponde a
.
Portanto, a solução homogênea é:
Resposta
A forma vetorial da solução geral do sistema
é:
E a forma vetorial da solução geral do sistema homogêneo
é: