Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, 95 % estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, 55 % estarão doentes amanhã.
© Se um aluno está bem hoje, qual é a probabilidade de ele estar doente daqui a dois dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que, em um dia qualquer, cada aluno está ou doente ou saudável. Sabemos que, se um aluno está saudável hoje, há 95% de chance de ele continuar saudável amanhã. Se ele está doente hoje, há 55% de chance de continuar doente amanhã.
A pergunta é: Se um aluno está bem hoje, qual a probabilidade dele estar doente daqui a dois dias?
Vamos usar probabilidade condicional e um pouquinho de teoria de cadeias de Markov para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possibilidades para o aluno nos próximos dois dias. Como começamos com o aluno saudável hoje, há duas possibilidades para amanhã:
  1. Ele continua saudável amanhã.
  2. Ele fica doente amanhã.
Vamos calcular cada uma dessas possibilidades.

Passo 3

1. Ele continua saudável amanhã:
  • A probabilidade disso acontecer é de 95%, ou seja, 0,95 times 0,05 = 0,0475 .
Se ele está saudável amanhã, queremos saber a probabilidade dele ficar doente depois disso (dois dias a partir de hoje).
  • A probabilidade de ficar doente depois de estar saudável é de 5%, ou seja, .
Então, a probabilidade de ele ficar doente dois dias depois, passando por saudável em um dia, é:

Passo 4

2. Ele fica doente amanhã:
  • A probabilidade disso acontecer é de 5%, ou seja, 0,05 times 0,55 = 0,0275 .
Se ele está doente amanhã, queremos saber a probabilidade dele continuar doente no segundo dia.
  • A probabilidade de continuar doente é de 55%, ou seja, .
Então, a probabilidade de ele estar doente dois dias depois, passando por doente em um dia, é:

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades obtidas para encontrar a probabilidade total de o aluno estar doente daqui a dois dias:
0,0475 + 0,0275 = 0,075

Resposta

A probabilidade de um aluno que está bem hoje estar doente daqui a dois dias é de 7,5%.

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