Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado pelos vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um subconjunto dos vetores dados que forme uma base do espaço gerado por eles. Depois, precisamos expressar cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, independência linear e combinações lineares. Para resolver, vamos verificar quais vetores são independentes e formar essa base.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores:
Queremos ver quais desses vetores são linearmente independentes. Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e vamos ver se o determinante é diferente de zero ou se conseguimos reduzir a matriz a uma forma onde cada vetor adiciona uma nova direção.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Agora, vamos usar eliminação de Gauss para reduzir a matriz e ver quantos pivôs (elementos não nulos que servem como referência) temos. Isso nos indica o número de vetores independentes.
Após realizar as operações, constatamos que os três primeiros vetores são linearmente independentes, e o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação dos primeiros três. Assim, nossa base será formada por , e .
Passo 4
Agora, vamos expressar o vetor que não está na base, que é , como uma combinação linear dos vetores da base , e . Isso significa encontrar constantes , e tais que:
Substituindo os valores:
Isso gera um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e . Portanto:
Resposta
Uma base para o espaço gerado pelos vetores é . O vetor pode ser expresso como: