Considere as bases B=p1, p2 e B^prime=q1, q2 de P1, em que
p1=6+3 x, p2=10+2 x, q1=2, q2=3+2 x
(a) Encontre a matriz de transição de B^prime para B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases no espaço dos polinômios de grau máximo 1, chamado . As bases são e . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de transição de para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. Ou seja, se a gente tem um vetor descrito em , a matriz de transição vai te dar como esse vetor fica descrito em .

Passo 3

Para encontrar a matriz de transição, precisamos expressar cada vetor da base q1 = a11 p1 + a12 p2 como uma combinação linear dos vetores da base q2 = a21 p1 + a22 p2 . Isso significa que vamos achar coeficientes tais que:

Passo 4

Vamos começar com 2 = a11(6 + 3x) + a12(10 + 2x) . Queremos achar 2 = (6a11 + 10a12) + (3a11 + 2a12)x e 6a11 + 10a12 = 2 que satisfaçam:
3a11 + 2a12 = 0
Vamos expandir isso:
Como essa igualdade deve valer para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o sistema:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da segunda equação:
3a11 + 2a12 = 0 implies a11 = -23a12
Substituindo na primeira equação:
6(-23a12) + 10a12 = 2
-4a12 + 10a12 = 2
6a12 = 2 implies a12 = 13
Então,
a11 = -23 times 13 = -29

Passo 6

Agora, vamos com 3 + 2x = a21(6 + 3x) + a22(10 + 2x) . Queremos achar 3 + 2x = (6a21 + 10a22) + (3a21 + 2a22)x e 6a21 + 10a22 = 3 que satisfaçam:
3a21 + 2a22 = 2
Expandindo:
Igualando os coeficientes:

Passo 7

Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
3a21 + 2a22 = 2 implies a21 = 2 - 2a223
Substituindo na primeira equação:
6(2 - 2a223) + 10a22 = 3
2(2 - 2a22) + 10a22 = 3
4 - 4a22 + 10a22 = 3
6a22 = -1 implies a22 = -16
Então,
a21 = 2 - 2(-16)3 = 2 + 133 = 733 = 79

Resposta

A matriz de transição de -29 & 13 79 & -16 para é:

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