Considere as bases
e
de
, em que
(a) Encontre a matriz de transição de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases no espaço dos polinômios de grau máximo 1, chamado
. As bases são
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de transição de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. Ou seja, se a gente tem um vetor descrito em
, a matriz de transição vai te dar como esse vetor fica descrito em
.
Passo 3
Para encontrar a matriz de transição, precisamos expressar cada vetor da base
como uma combinação linear dos vetores da base
. Isso significa que vamos achar coeficientes
tais que:
Passo 4
Vamos começar com
. Queremos achar
e
que satisfaçam:
Vamos expandir isso:
Como essa igualdade deve valer para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o sistema:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 6
Agora, vamos com
. Queremos achar
e
que satisfaçam:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Passo 7
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Resposta
A matriz de transição de
para
é: