Considere as bases e de , em que
(a) Encontre a matriz de transição de para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas bases no espaço dos polinômios de grau máximo 1, chamado . As bases são e . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz de transição de para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. Ou seja, se a gente tem um vetor descrito em , a matriz de transição vai te dar como esse vetor fica descrito em .

Passo 3

Para encontrar a matriz de transição, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos achar coeficientes tais que:

Passo 4

Vamos começar com . Queremos achar e que satisfaçam:
Vamos expandir isso:
Como essa igualdade deve valer para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais. Então, temos o sistema:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 6

Agora, vamos com . Queremos achar e que satisfaçam:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:

Passo 7

Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Resposta

A matriz de transição de para é:

Exercícios relacionados

Sejam e vetores de um espaço vetorial .
Mostre que: implica
Questão 13 Em cada um dos seguintes itens, encontre a dimensão do subespaço de gerada pelos vetores dados:

  • onde, é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de .
(a)
Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espaço gerado pelos vetores; em seguida, expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base.
(a) ,