Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equações.
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por algumas equações que relacionam as coordenadas com as coordenadas . Nosso objetivo é encontrar a matriz canônica dessa transformação. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de transformação linear e matriz de transformação.
Passo 2
Uma transformação linear é uma função que leva vetores de um espaço para outro, respeitando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz que representa essa transformação, precisamos ver como cada coordenada é expressa em termos das coordenadas .
Passo 3
Vamos analisar as equações fornecidas:
Cada equação mostra como uma coordenada é uma combinação linear das coordenadas . Nossa tarefa é construir uma matriz onde cada coluna representa a imagem dos eixos canônicos sob a transformação.
Passo 4
Para cada , vamos identificar os coeficientes de :
Para :
Coeficiente de : 1
Coeficientes de : 0
Para :
Coeficiente de : 3
Coeficiente de : -2
Coeficientes de : 0
Para :
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 0
Para :
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 1
Coeficiente de : 1
Passo 5
Agora, vamos organizar esses coeficientes em uma matriz, onde cada coluna corresponde a e cada linha a :
Passo 6
Essa matriz é a matriz canônica da transformação linear definida pelas equações dadas. Cada entrada na matriz representa como cada variável contribui para cada .