Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equações.
(d) w1=x1 w2=3 x1-2 x2
w2=5 x1-7 x2 w2=x1+x2 w3=x1+x2+x3 w4=x1+x2+x3+x4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por algumas equações que relacionam as coordenadas com as coordenadas . Nosso objetivo é encontrar a matriz canônica dessa transformação. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de transformação linear e matriz de transformação.

Passo 2

Uma transformação linear é uma função que leva vetores de um espaço para outro, respeitando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Para encontrar a matriz que representa essa transformação, precisamos ver como cada coordenada é expressa em termos das coordenadas .

Passo 3

Vamos analisar as equações fornecidas:
Cada equação mostra como uma coordenada é uma combinação linear das coordenadas . Nossa tarefa é construir uma matriz onde cada coluna representa a imagem dos eixos canônicos sob a transformação.

Passo 4

Para cada , vamos identificar os coeficientes de :
  1. Para :
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficientes de : 0
  2. Para :
    • Coeficiente de : 3
    • Coeficiente de : -2
    • Coeficientes de : 0
  3. Para :
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 0
  4. Para :
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 1
    • Coeficiente de : 1

Passo 5

Agora, vamos organizar esses coeficientes em uma matriz, onde cada coluna corresponde a 1 & 0 & 0 & 0 3 & -2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 e cada linha a :

Passo 6

Essa matriz é a matriz canônica da transformação linear definida pelas equações dadas. Cada entrada na matriz representa como cada variável contribui para cada .

Resposta

A matriz canônica da transformação é:
1 & 0 & 0 & 0 3 & -2 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1

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