Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
e
são vetores no espaço, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão nos pede para verificar se, para vetores
,
e
no espaço, a seguinte igualdade é verdadeira:
Vamos usar o conceito de produto misto (produto escalar com produto vetorial) para resolver isso.
Passo 2
O produto misto de três vetores
,
e
é definido como:
Esse produto representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e é chamado de produto escalar triplo.
Passo 3
Uma propriedade importante do produto misto é que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores. Ou seja:
Isso significa que, se a gente rearrumar os vetores de forma cíclica, o valor do produto misto permanece o mesmo.
Passo 4
Além disso, se trocaremos dois vetores, o sinal do produto misto muda. Por exemplo:
No entanto, como o enunciado pede o valor absoluto, o sinal negativo não vai influenciar no resultado final.
Passo 5
Aplicando essas propriedades ao enunciado, vemos que:
Todas essas expressões representam o mesmo volume absoluto do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
.
Resposta
Verdadeiro.