Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
Se u, v e w são vetores no espaço, então
|u cdot(v times w)|=|v cdot(u times w)|=|w cdot(v times u)|=|v cdot(w times u)|.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão nos pede para verificar se, para vetores |u cdot (v times w)| = |v cdot (u times w)| = |w cdot (v times u)| = |v cdot (w times u)| , e no espaço, a seguinte igualdade é verdadeira:
Vamos usar o conceito de produto misto (produto escalar com produto vetorial) para resolver isso.

Passo 2

O produto misto de três vetores a cdot (b times c) , e é definido como:
Esse produto representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e é chamado de produto escalar triplo.

Passo 3

Uma propriedade importante do produto misto é que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores. Ou seja:
a cdot (b times c) = b cdot (c times a) = c cdot (a times b)
Isso significa que, se a gente rearrumar os vetores de forma cíclica, o valor do produto misto permanece o mesmo.

Passo 4

Além disso, se trocaremos dois vetores, o sinal do produto misto muda. Por exemplo:
a cdot (b times c) = -a cdot (c times b)
No entanto, como o enunciado pede o valor absoluto, o sinal negativo não vai influenciar no resultado final.

Passo 5

Aplicando essas propriedades ao enunciado, vemos que:
|u cdot (v times w)| = |v cdot (u times w)| = |w cdot (v times u)| = |v cdot (w times u)|
Todas essas expressões representam o mesmo volume absoluto do paralelepípedo formado pelos vetores , e .

Resposta

Verdadeiro.

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