Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equações.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear definida pelas equações dadas. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de transformações lineares e suas representações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz que representa essa transformação a partir das equações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. A matriz canônica dessa transformação é a matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza essa transformação.
Passo 3
As equações que definem nossa transformação são:
Aqui,
e
são as coordenadas do vetor resultante na imagem da transformação, e
são as coordenadas do vetor de partida. Notamos que
não aparece, o que significa que a transformação não depende dessa coordenada.
Passo 4
Agora, para achar a matriz canônica, vamos considerar que estamos trabalhando com vetores em
(já que temos
) e que a transformação mapeia esses vetores para
(pois temos
e
).
A matriz canônica terá tantas colunas quanto dimensões do espaço de entrada (4) e tantas linhas quanto dimensões do espaço de saída (2). Cada coluna da matriz será como a transformação age sobre os vetores da base canônica do espaço de entrada.
Passo 5
Vamos montar a matriz:
-
Primeira coluna: O que acontece quando aplicamos a transformação ao vetor
? Então, a primeira coluna é. -
Segunda coluna: Aplicando ao vetor
: Segunda coluna:. -
Terceira coluna: Aplicando ao vetor
: Terceira coluna:. -
Quarta coluna: Aplicando ao vetor
: Quarta coluna:.
Resposta
A matriz canônica da transformação é: