Em cada parte, encontre a matriz canônica da transformação definida pelas equações.
(a) w1=2 x1-3 x2+x4 w2=3 x1+5 x2-x4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear definida pelas equações dadas. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente no estudo de transformações lineares e suas representações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz que representa essa transformação a partir das equações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. A matriz canônica dessa transformação é a matriz que, quando multiplicada por um vetor, realiza essa transformação.

Passo 3

As equações que definem nossa transformação são:
w1 = 2 x1 - 3 x2 + x4
w2 = 3 x1 + 5 x2 - x4
Aqui, e são as coordenadas do vetor resultante na imagem da transformação, e são as coordenadas do vetor de partida. Notamos que não aparece, o que significa que a transformação não depende dessa coordenada.

Passo 4

Agora, para achar a matriz canônica, vamos considerar que estamos trabalhando com vetores em (já que temos ) e que a transformação mapeia esses vetores para (pois temos e ).
A matriz canônica terá tantas colunas quanto dimensões do espaço de entrada (4) e tantas linhas quanto dimensões do espaço de saída (2). Cada coluna da matriz será como a transformação age sobre os vetores da base canônica do espaço de entrada.

Passo 5

Vamos montar a matriz:
  1. Primeira coluna: O que acontece quando aplicamos a transformação ao vetor w1 = 2(1) - 3(0) + 1(0) = 2 ?
    w2 = 3(1) + 5(0) - 1(0) = 3
    2 3
    Então, a primeira coluna é w1 = 2(0) - 3(1) + 1(0) = -3 .
  2. Segunda coluna: Aplicando ao vetor w2 = 3(0) + 5(1) - 1(0) = 5 :
    -3 5
    w1 = 2(0) - 3(0) + 1(0) = 0
    Segunda coluna: w2 = 3(0) + 5(0) - 1(0) = 0 .
  3. Terceira coluna: Aplicando ao vetor 0 0 :
    w1 = 2(0) - 3(0) + 1(1) = 1
    w2 = 3(0) + 5(0) - 1(1) = -1
    Terceira coluna: 1 -1 .
  4. Quarta coluna: Aplicando ao vetor :
    Quarta coluna: .

Resposta

A matriz canônica da transformação é:
2 & -3 & 0 & 1 3 & 5 & 0 & -1

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