Considere o paralelogramo A B C D em que A=(0,0), B=(-1,2) e C= (-3,-4). Encontre os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um paralelogramo ABCD com os pontos A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Precisamos encontrar:
  1. Os ângulos internos distintos desse paralelogramo.
  2. O vértice D do paralelogramo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como propriedades dos paralelogramos, cálculo de vetores e a fórmula para o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Vamos começar encontrando o ponto D. Sabemos que em um paralelogramo, os vetores dos lados opostos são iguais. Ou seja, o vetor AD deve ser igual ao vetor BC.
Primeiro, vamos encontrar o vetor BC.
BC = C - B = (-3,-4) - (-1,2) = (-3 +1, -4 -2) = (-2, -6)
Então, AD = (-2, -6)
Agora, como A = (0,0), podemos encontrar D somando A e AD:
D = A + AD = (0 + (-2), 0 + (-6)) = (-2, -6)

Passo 3

Agora que encontramos o ponto D = (-2, -6), vamos identificar os ângulos internos distintos do paralelogramo. Em um paralelogramo, os ângulos opostos são iguais e os ângulos adjacentes são suplementares.
Vamos calcular o ângulo no vértice A e no vértice B. Os outros ângulos serão iguais a esses correspondentes.

Passo 4

Para calcular o ângulo no vértice A, precisamos identificar os vetores que formam esse ângulo. No vértice A, os vetores são AB e AD.
Primeiro, vamos encontrar os vetores:
AB = B - A = (-1,2) - (0,0) = (-1,2)
AD = D - A = (-2,-6) - (0,0) = (-2,-6)
Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, usamos a fórmula do cosseno:
costheta = AB cdot AD|AB| cdot |AD|
Onde AB cdot AD é o produto escalar e |AB|, |AD| são os módulos dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
AB cdot AD = (-1)(-2) + (2)(-6) = 2 -12 = -10
Agora, os módulos dos vetores:
|AB| = raiz(-1)^2 + (2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
|AD| = raiz(-2)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10

Passo 6

Aplicando na fórmula do cosseno:
costheta = -10raiz5 cdot 2raiz10 = -102raiz50 = -102 cdot 5raiz2 = -1010raiz2 = -1raiz2
Então,
theta = cos^-1( -1raiz2 ) = 135^circ

Passo 7

Como em um paralelogramo os ângulos opostos são iguais e os adjacentes são suplementares, temos:
  • Ângulo no vértice A: 135^circ
  • Ângulo no vértice B: 45^circ (porque 135^circ + 45^circ = 180^circ)
  • Ângulo no vértice C: 135^circ
  • Ângulo no vértice D: 45^circ

Resposta

O vértice D do paralelogramo é (-2, -6), e os ângulos internos distintos são 135^circ e 45^circ.

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