Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
Se u, v e w são vetores no espaço, então u x(v times w)=(u times v) x w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a igualdade entre dois produtos vetoriais é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido aqui é o produto vetorial no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como o produto vetorial funciona e se ele é associativo, ou seja, se a ordem dos produtos não altera o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Dado dois vetores e , o produto vetorial resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos e . A operação não é comutativa, o que significa que .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se o produto vetorial é associativo. Isso quer dizer, se é igual a .
Vamos testar com vetores específicos para ver se essa igualdade sempre se mantém.

Passo 4

Vamos escolher vetores simples. Suponha que:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 0 0 1
Calculando v times w = 1 0 0 = u :
u times (v times w) = u times u = 0 0 0
Então:

Passo 5

Agora, calculando u times v = 0 0 1 = w :
(u times v) times w = w times w = 0 0 0
Então:

Passo 6

Neste exemplo específico, ambos os lados da igualdade deram o vetor nulo. Mas isso aconteceu por causa da escolha dos vetores. Vamos testar com outro conjunto de vetores.

Passo 7

Escolha diferente:
u = 1 2 3, v = 4 5 6, w = 7 8 9
Calculando v times w = (5)(9) - (6)(8) (6)(7) - (4)(9) (4)(8) - (5)(7) = 45 - 48 42 - 36 32 - 35 = -3 6 -3 :
u times (v times w) = 1 2 3 times -3 6 -3 = (2)(-3) - (3)(6) (3)(-3) - (1)(-3) (1)(6) - (2)(-3) = -6 - 18 -9 + 3 6 + 6 = -24 -6 12
Então:

Passo 8

Agora, calculando u times v = 1 2 3 times 4 5 6 = (2)(6) - (3)(5) (3)(4) - (1)(6) (1)(5) - (2)(4) = 12 - 15 12 - 6 5 - 8 = -3 6 -3 :
(u times v) times w = -3 6 -3 times 7 8 9 = (6)(9) - (-3)(8) (-3)(7) - (-3)(9) (-3)(8) - (6)(7) = 54 + 24 -21 + 27 -24 - 42 = 78 6 -66
Em seguida:

Passo 9

Comparando os dois resultados:
u times (v times w) = -24 -6 12 neq (u times v) times w = 78 6 -66
Isso mostra que a igualdade não se mantém para todos os vetores.

Resposta

Falso. O produto vetorial não é associativo, ou seja, .

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