Em cada parte, encontre Nuc (T) e determine se a transformação linear T é injetora.
(a) T: R^2 R^2, sendo T(x, y)=(y, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Núcleo (ou Kernel) da transformação linear e descobrir se essa transformação é injetora. A transformação dada é , onde . Basicamente, vamos trabalhar com álgebra linear, focando em transformações lineares e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de Nuc(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras:

Passo 3

Vamos então achar o Núcleo de T(x, y) = (y, x) = (0, 0) . Sabemos que:
y = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
x = 0
Resolvendo esse sistema, descobrimos que a única solução é e .

Passo 4

Portanto, o Núcleo de Nuc(T) = (0, 0) é:
Isso significa que o único vetor que mapeia para o zero é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos determinar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu Núcleo contém apenas o vetor nulo. Como acabamos de ver que , isso confirma que é injetora.

Resposta

O Núcleo de é e a transformação linear é injetora.

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