Em cada parte, encontre Nuc
e determine se a transformação linear
é injetora.
(a)
, sendo
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Núcleo (ou Kernel) da transformação linear
e descobrir se essa transformação é injetora. A transformação dada é
, onde
. Basicamente, vamos trabalhar com álgebra linear, focando em transformações lineares e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Em outras palavras:
Passo 3
Vamos então achar o Núcleo de
. Sabemos que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que a única solução é
e
.
Passo 4
Portanto, o Núcleo de
é:
Isso significa que o único vetor que
mapeia para o zero é o vetor nulo.
Passo 5
Agora, vamos determinar se a transformação
é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu Núcleo contém apenas o vetor nulo. Como acabamos de ver que
, isso confirma que
é injetora.
Resposta
O Núcleo de
é
e a transformação linear
é injetora.