Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(a) , sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Núcleo (ou Kernel) da transformação linear e descobrir se essa transformação é injetora. A transformação dada é , onde . Basicamente, vamos trabalhar com álgebra linear, focando em transformações lineares e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de uma transformação linear. O Núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras:
Passo 3
Vamos então achar o Núcleo de . Sabemos que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, descobrimos que a única solução é e .
Passo 4
Portanto, o Núcleo de é:
Isso significa que o único vetor que mapeia para o zero é o vetor nulo.
Passo 5
Agora, vamos determinar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu Núcleo contém apenas o vetor nulo. Como acabamos de ver que , isso confirma que é injetora.
Resposta
O Núcleo de é e a transformação linear é injetora.