Determine de modo que as matrizes abaixo sejam invertíveis:

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício onde precisa descobrir o valor de para que a seguinte matriz seja inversível:
Esse problema está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz, já que uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz quadrada (com o mesmo número de linhas e colunas) é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. E uma condição chave para isso é que o determinante da matriz seja diferente de zero.
Então, para descobrir quando nossa matriz é inversível, precisamos calcular o seu determinante e garantir que ele não seja zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz dada:
Observa que essa matriz é uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zeros. Para esse tipo de matriz, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 4

Agora que temos o determinante:
Para a matriz ser inversível, precisamos que:
Isso significa que não pode ser zero.

Resposta

O valor de deve ser diferente de zero, ou seja, , para que a matriz seja invertível.

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Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(a) , sendo
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Calcular .
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© , sendo