Determine de modo que as matrizes abaixo sejam invertíveis:
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício onde precisa descobrir o valor de a & 0 & 0 1 & a & 0 0 & 1 & a para que a seguinte matriz seja inversível:
Esse problema está dentro do tópico de Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz, já que uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz quadrada (com o mesmo número de linhas e colunas) é inversível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. E uma condição chave para isso é que o determinante da matriz seja diferente de zero.
Então, para descobrir quando nossa matriz é inversível, precisamos calcular o seu determinante e garantir que ele não seja zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz dada:
A = a & 0 & 0 1 & a & 0 0 & 1 & a
Observa que essa matriz é uma matriz triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zeros. Para esse tipo de matriz, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
det(A) = a times a times a = a^3
Passo 4
Agora que temos o determinante:
det(A) = a^3
Para a matriz ser inversível, precisamos que:
det(A) neq 0 Rightarrow a^3 neq 0
Isso significa que não pode ser zero.
Resposta
O valor de deve ser diferente de zero, ou seja, , para que a matriz seja invertível.