Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre
(d) A=[rrr1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 2 & 3 & 0]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear envolvendo transformações lineares. Especificamente, a transformação x1 x2 x3 é dada pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa, , aplicada a um vetor qualquer .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e determinantes. Uma transformação linear tem inversa se e somente se a matriz associada a ela for invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero. Então, vamos seguir passo a passo para descobrir se é invertível e, se for, encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 2 & 3 & 0 é invertível. Para isso, a gente calcula o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
= 1 cdot 3 + 1 cdot 2 + 1 cdot (-4)
Vamos substituir os valores:
= 3 + 2 - 4
Calculando cada termo:
= 1
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar a matriz inversa C11 = det 2 & -1 3 & 0 = (2)(0) - (-1)(3) = 3 . Para matrizes 3x3, uma maneira de fazer isso é usando a matriz adjunta e o determinante.