Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear envolvendo transformações lineares. Especificamente, a transformação é dada pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa, , aplicada a um vetor qualquer .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e determinantes. Uma transformação linear tem inversa se e somente se a matriz associada a ela for invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero. Então, vamos seguir passo a passo para descobrir se é invertível e, se for, encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Para isso, a gente calcula o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz é:
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Vamos substituir os valores:
Calculando cada termo:
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . Para matrizes 3x3, uma maneira de fazer isso é usando a matriz adjunta e o determinante.
A fórmula para a inversa é:
Já sabemos que , então .
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de . Vamos calcular os cofatores:
Calculando os cofatores para cada posição:
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz:
Então, a inversa de é:
Passo 4
Agora que temos a matriz inversa , podemos expressar a transformação inversa . A transformação inversa basicamente “desfaz” a transformação original . Então, se multiplica um vetor por , multiplica por .
Portanto, para um vetor , a transformação inversa é dada por:
Resposta
A transformação tem uma inversa, e ela é dada por: