Em cada parte, seja T: R^3 R^3 a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre
T^-1([l x1 x2 x3 ])
(d) A=[rrr1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 2 & 3 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear envolvendo transformações lineares. Especificamente, a transformação x1 x2 x3 é dada pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa, , aplicada a um vetor qualquer .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e determinantes. Uma transformação linear tem inversa se e somente se a matriz associada a ela for invertível, ou seja, se o determinante dessa matriz for diferente de zero. Então, vamos seguir passo a passo para descobrir se é invertível e, se for, encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 1 & -1 & 1 0 & 2 & -1 2 & 3 & 0 é invertível. Para isso, a gente calcula o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz det(A) = 1(2 cdot 0 - (-1) cdot 3) - (-1)(0 cdot 0 - (-1) cdot 2) + 1(0 cdot 3 - 2 cdot 2) é:
= 1(0 + 3) - (-1)(0 + 2) + 1(0 - 4)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
= 1 cdot 3 + 1 cdot 2 + 1 cdot (-4)
Vamos substituir os valores:
= 3 + 2 - 4
Calculando cada termo:
= 1
Como , a matriz é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar a matriz inversa C11 = det 2 & -1 3 & 0 = (2)(0) - (-1)(3) = 3 . Para matrizes 3x3, uma maneira de fazer isso é usando a matriz adjunta e o determinante.
A fórmula para a inversa é:
C12 = -det 0 & -1 2 & 0 = -[(0)(0) - (-1)(2)] = -2
Já sabemos que C13 = det 0 & 2 2 & 3 = (0)(3) - (2)(2) = -4 , então C21 = -det -1 & 1 3 & 0 = -[(-1)(0) - (1)(3)] = 3 .
A matriz adjunta C22 = det 1 & 1 2 & 0 = (1)(0) - (1)(2) = -2 é a transposta da matriz dos cofatores de C23 = -det 1 & -1 2 & 3 = -[(1)(3) - (-1)(2)] = -5 . Vamos calcular os cofatores:
Calculando os cofatores para cada posição:
C31 = det -1 & 1 2 & -1 = (-1)(-1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1
C32 = -det 1 & 1 0 & -1 = -[(1)(-1) - (1)(0)] = 1
C33 = det 1 & -1 0 & 2 = (1)(2) - (-1)(0) = 2
Cof(A) = 3 & -2 & -4 3 & -2 & -5 -1 & 1 & 2
adj(A) = 3 & 3 & -1 -2 & -2 & 1 -4 & -5 & 2
A^-1 = adj(A) = 3 & 3 & -1 -2 & -2 & 1 -4 & -5 & 2
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz:
Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora que temos a matriz inversa x1 x2 x3 , podemos expressar a transformação inversa T^-1( x1 x2 x3 ) = A^-1 x1 x2 x3 = 3 & 3 & -1 -2 & -2 & 1 -4 & -5 & 2 x1 x2 x3 . A transformação inversa basicamente “desfaz” a transformação original . Então, se multiplica um vetor por , multiplica por .
Portanto, para um vetor , a transformação inversa é dada por:

Resposta

A transformação T^-1( x1 x2 x3 ) = 3 & 3 & -1 -2 & -2 & 1 -4 & -5 & 2 x1 x2 x3 tem uma inversa, e ela é dada por:

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