Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
© , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o Nulário ( ) da transformação linear e determinar se é injetora. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e o que significa ela ser injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou , é o conjunto de todos os vetores no espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, isso é escrito como:
Nesse caso, queremos encontrar todos os vetores em que, quando aplicamos , resultam em .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação ao vetor :
Queremos que , então temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Somando as duas equações:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, a única solução é e .

Passo 5

Isso significa que o núcleo de é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero.

Passo 6

Como encontramos que , isso confirma que é injetora. Não há outros vetores além do zero que são mapeados para o vetor zero, garantindo a injetividade.

Resposta

O núcleo de é e a transformação é injetora.

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Considere as matrizes
Calcular .
Determine de modo que as matrizes abaixo sejam invertíveis:
Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(d) , sendo
Considere as matrizes
Determinar a matriz .