Em cada parte, encontre Nuc (T) e determine se a transformação linear T é injetora.
© T: R^2 R^2, sendo T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o Nulário ( ) da transformação linear e determinar se é injetora. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e o que significa ela ser injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou Nuc(T) = v in R^2 mid T(v) = 0 , é o conjunto de todos os vetores no espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, isso é escrito como:
Nesse caso, queremos encontrar todos os vetores em que, quando aplicamos , resultam em .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(x, y) = (x + y, x - y) ao vetor x + y = 0 x - y = 0 :
Queremos que , então temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Somando as duas equações:
(x + y) + (x - y) = 0 + 0 2x = 0 x = 0
Agora, substituímos 0 + y = 0 y = 0 na primeira equação:
Então, a única solução é e .

Passo 5

Isso significa que o núcleo de Nuc(T) = (0, 0) é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
Agora, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero.

Passo 6

Como encontramos que , isso confirma que é injetora. Não há outros vetores além do zero que são mapeados para o vetor zero, garantindo a injetividade.

Resposta

O núcleo de é e a transformação é injetora.

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