Em cada parte, encontre Nuc
e determine se a transformação linear
é injetora.
©
, sendo
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o Nulário (
) da transformação linear
e determinar se
é injetora. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções que respeitam certas propriedades matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação e o que significa ela ser injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou
, é o conjunto de todos os vetores
no espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matemáticamente, isso é escrito como:
Nesse caso, queremos encontrar todos os vetores
em
que, quando aplicamos
, resultam em
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
ao vetor
:
Queremos que
, então temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Somando as duas equações:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, a única solução é
e
.
Passo 5
Isso significa que o núcleo de
é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
Agora, vamos verificar se
é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero.
Passo 6
Como encontramos que
, isso confirma que
é injetora. Não há outros vetores além do zero que são mapeados para o vetor zero, garantindo a injetividade.
Resposta
O núcleo de
é
e a transformação
é injetora.