Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(d) , sendo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar o núcleo dessa transformação, que chamamos de , e verificar se é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o núcleo de uma transformação linear e as condições para uma transformação ser injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar esse conjunto resolvendo a equação . Substituindo a definição de :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. A primeira equação já nos diz que . Substituindo na segunda equação, temos . A terceira equação, , confirma que , que é verdade. Portanto, a única solução é e .
Passo 5
Então, o núcleo de é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
Passo 6
Agora vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contiver apenas o vetor zero. Como encontramos que , isso significa que é injetora.