Em cada parte, encontre Nuc (T) e determine se a transformação linear T é injetora.
(d) T: R^2 R^3, sendo T(x, y)=(x, y, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Precisamos encontrar o núcleo dessa transformação, que chamamos de , e verificar se é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o núcleo de uma transformação linear e as condições para uma transformação ser injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, Nuc(T) = (x, y) in R^2 | T(x, y) = (0, 0, 0) , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar esse conjunto resolvendo a equação (x, y, x+y) = (0, 0, 0) . Substituindo a definição de x = 0 y = 0 x + y = 0 :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. A primeira equação já nos diz que . Substituindo na segunda equação, temos . A terceira equação, , confirma que , que é verdade. Portanto, a única solução é e .

Passo 5

Então, o núcleo de Nuc(T) = (0, 0) é o conjunto que contém apenas o vetor zero:

Passo 6

Agora vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o núcleo contiver apenas o vetor zero. Como encontramos que , isso significa que é injetora.

Resposta

O núcleo de é e a transformação é injetora.

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