Em cada parte, encontre Nuc (T) e determine se a transformação linear T é injetora.
(e) T: R^2 R^3, sendo T(x, y)=(x-y, y-x, 2 x-2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o núcleo (Nuc (T)) da transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x-y, y-x, 2x-2y). Além disso, precisamos verificar se essa transformação T é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleo e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T, denotado por Nuc (T), é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são enviados para o vetor zero em R^3 pela transformação T. Ou seja:
Nuc(T) = , (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 ,

Passo 3

Agora, vamos encontrar todos os (x, y) que satisfazem T(x, y) = 0. Isso significa que cada componente de T(x, y) deve ser igual a zero:
x - y = 0 y - x = 0 2x - 2y = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Observamos que as duas primeiras equações:
x - y = 0 e y - x = 0
são essencialmente a mesma coisa, ou seja, x = y. A terceira equaç��o:
2x - 2y = 0
também nos dá x = y quando dividimos por 2. Portanto, todas as três equações indicam que x deve ser igual a y.

Passo 5

Com x = y, podemos expressar o conjunto núcleo de T como todos os pares (x, x) onde x é um número real. Então:
Nuc(T) = , (x, x) mid x in R ,
Isso significa que o núcleo é uma linha reta passando pela origem no plano R^2.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a transformação T é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Em outras palavras, T é injetora se:
Nuc(T) = , 0 ,

Passo 7

No nosso caso, observamos que o núcleo de T contém todos os vetores da forma (x, x), onde x pode ser qualquer número real. Isso significa que além do vetor zero (0, 0), há infinitos outros vetores no núcleo de T. Portanto, o núcleo de T não é trivial.

Resposta

Nuc(T) = , (x, x) mid x in R ,
A transformação linear T não é injetora, pois seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.

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