Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(e) , sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o núcleo (Nuc) da transformação linear definida por . Além disso, precisamos verificar se essa transformação é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleo e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por Nuc, é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar todos os que satisfazem . Isso significa que cada componente de deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Observamos que as duas primeiras equações:
são essencialmente a mesma coisa, ou seja, . A terceira equaç��o:
também nos dá quando dividimos por 2. Portanto, todas as três equações indicam que deve ser igual a .
Passo 5
Com , podemos expressar o conjunto núcleo de como todos os pares onde é um número real. Então:
Isso significa que o núcleo é uma linha reta passando pela origem no plano .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a transformação é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Em outras palavras, é injetora se:
Passo 7
No nosso caso, observamos que o núcleo de contém todos os vetores da forma , onde pode ser qualquer número real. Isso significa que além do vetor zero , há infinitos outros vetores no núcleo de . Portanto, o núcleo de não é trivial.
Resposta
A transformação linear não é injetora, pois seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.