Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(e) , sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o núcleo (Nuc) da transformação linear definida por . Além disso, precisamos verificar se essa transformação é injetora. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleo e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por Nuc, é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em pela transformação . Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar todos os que satisfazem . Isso significa que cada componente de deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Observamos que as duas primeiras equações:
x - y = 0 e y - x = 0
são essencialmente a mesma coisa, ou seja, x = y. A terceira equaç��o:
2x - 2y = 0
também nos dá x = y quando dividimos por 2. Portanto, todas as três equações indicam que x deve ser igual a y.
Passo 5
Com x = y, podemos expressar o conjunto núcleo de T como todos os pares (x, x) onde x é um número real. Então:
Nuc(T) = , (x, x) mid x in R ,
Isso significa que o núcleo é uma linha reta passando pela origem no plano R^2.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a transformação T é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero. Em outras palavras, T é injetora se:
Nuc(T) = , 0 ,
Passo 7
No nosso caso, observamos que o núcleo de T contém todos os vetores da forma (x, x), onde x pode ser qualquer número real. Isso significa que além do vetor zero (0, 0), há infinitos outros vetores no núcleo de T. Portanto, o núcleo de T não é trivial.
Resposta
Nuc(T) = , (x, x) mid x in R ,
A transformação linear Tnão é injetora, pois seu núcleo contém mais vetores além do vetor zero.