Determine os valores de k para os quais o posto da matriz ; [cccc1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1] é igual a 3. Qual o posto para outros valores de k ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e identificar o que vamos precisar. A gente tem uma matriz de e precisa descobrir para quais valores de o posto dessa matriz é igual a 3. Também tem que dizer qual é o posto para os outros valores de . Para resolver isso, vamos usar operações elementares de linhas para simplificar a matriz e verificar o posto dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a matriz que a gente tem:
A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1
Vamos começar simplificando a matriz usando operações de linhas. Nosso objetivo é transformá-la em uma forma mais simples onde possamos identificar facilmente o posto.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha para eliminar o primeiro elemento da terceira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Isso nos dá:
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & -2 & 1 & k - 3 0 & 1 & 0 & -1

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Usamos a segunda linha para eliminar os elementos abaixo dela na mesma coluna. Primeiramente, vamos somar 2 vezes a segunda linha à terceira:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 2
E depois, subtraímos a segunda linha da quarta:
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
A matriz fica assim:
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k + 1 0 & 0 & 1 & -3

Passo 5

Seguimos para a terceira coluna. Vamos somar a terceira linha à quarta para eliminar o elemento da quarta linha na terceira coluna:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3
Isso resulta em:
1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k + 1 0 & 0 & 0 & k - 2

Passo 6

Agora, observamos a última linha. O elemento na posição é crucial para determinar o posto da matriz.
  • Se : O elemento não é zero, então temos quatro pivôs (um em cada coluna principal), o que significa que o posto da matriz é 4.
  • Se : O elemento é zero, então a última linha fica toda zero. Nesse caso, a matriz tem apenas três pivôs, indicando que o posto é 3.

Resposta

O posto da matriz é igual a 3 quando . Para todos os outros valores de , o posto da matriz é 4.

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