Em cada parte, seja T: R^2 R^2 a multiplicação por A. Determin
T^-1([l x1 x2 ])
(a) A=[ll5 & 2 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a transformação inversa x1 x2 que, quando aplicada a um vetor , nos dá o vetor original antes da transformação . A transformação é definida pela multiplicação pela matriz . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a matriz inversa de , já que a transformação inversa será a multiplicação pela matriz inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 5 & 2 2 & 1 que nos foi dada:
Para encontrar , precisamos encontrar a inversa de , ou seja, .

Passo 3

Para encontrar a matriz inversa de uma matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , usamos a seguinte fórmula:
a & b c & d
onde e é o determinante de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = (5)(1) - (2)(2) = 5 - 4 = 1 :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 1 & -2 -2 & 5 = 1 & -2 -2 & 5

Passo 6

Portanto, a transformação inversa x1 x2 aplicada a um vetor T^-1( x1 x2 ) = A^-1 x1 x2 = 1 & -2 -2 & 5 x1 x2 é dada por:
1 cdot x1 + (-2) cdot x2 -2 cdot x1 + 5 cdot x2 = x1 - 2x2 -2x1 + 5x2
Fazendo a multiplicação:

Resposta

T^-1( x1 x2 ) = x1 - 2x2 -2x1 + 5x2

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