Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora. (f) , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o **núcleo** da transformação linear , que é dada por . Além disso, precisamos determinar se essa transformação é **injetora**. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e o que significa ser injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o **núcleo** de uma transformação linear. O núcleo, também conhecido como **Nuc(T)**, é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação aos componentes e igualar a zero: Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações. Primeiro, somamos as duas equações para eliminar e :

Passo 5

Com , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre e . Vamos usar a primeira equação: Isso significa que é um parâmetro livre e é o oposto de .

Passo 6

Assim, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de : Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores com variando em todos os números reais.

Passo 7

Agora, vamos determinar se a transformação é **injetora**. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja, . No nosso caso, vimos que: Isso significa que o núcleo não é apenas o vetor zero, mas uma reta inteira de vetores com variando. Portanto, o núcleo tem infinitos vetores além do zero.

Resposta

O núcleo de é . Como o núcleo contém mais vetores além do zero, a transformação linear **não é injetora**.

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