Em cada parte, encontre Nuc e determine se a transformação linear é injetora.
(f) , sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o **núcleo** da transformação linear , que é dada por . Além disso, precisamos determinar se essa transformação é **injetora**. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e o que significa ser injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o **núcleo** de uma transformação linear. O núcleo, também conhecido como **Nuc(T)**, é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação .
Passo 3
Vamos aplicar a transformação aos componentes e igualar a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar e :
Passo 5
Com , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Isso significa que é um parâmetro livre e é o oposto de .
Passo 6
Assim, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de :
Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores com variando em todos os números reais.
Passo 7
Agora, vamos determinar se a transformação é **injetora**. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que o núcleo não é apenas o vetor zero, mas uma reta inteira de vetores com variando. Portanto, o núcleo tem infinitos vetores além do zero.
Resposta
O núcleo de é . Como o núcleo contém mais vetores além do zero, a transformação linear **não é injetora**.