Em cada parte, encontre Nuc
e determine se a transformação linear
é injetora.
(f)
, sendo
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
, que é dada por
. Além disso, precisamos determinar se essa transformação é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e o que significa ser injetora.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, também conhecido como Nuc(T), é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja,
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
aos componentes
e igualar a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
que satisfazem ambas as equações.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar
e
:
Passo 5
Com
, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre
e
. Vamos usar a primeira equação:
Isso significa que
é um parâmetro livre e
é o oposto de
.
Passo 6
Assim, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de
:
Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
com
variando em todos os números reais.
Passo 7
Agora, vamos determinar se a transformação
é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja,
.
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que o núcleo não é apenas o vetor zero, mas uma reta inteira de vetores com
variando. Portanto, o núcleo tem infinitos vetores além do zero.
Resposta
O núcleo de
é
. Como o núcleo contém mais vetores além do zero, a transformação linear
não é injetora.