Em cada parte, encontre Nuc (T) e determine se a transformação linear T é injetora.
(f) T: R^3 R^2, sendo T(x, y, z)=(x+y+z, x-y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear , que é dada por . Além disso, precisamos determinar se essa transformação é injetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear e o que significa ser injetora.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, também conhecido como Nuc(T), é o conjunto de todos os vetores Nuc(T) = , (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0) , em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja,
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (x + y + z, , x - y - z) = (0, 0) aos componentes x + y + z = 0 x - y - z = 0 e igualar a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (x + y + z) + (x - y - z) = 0 + 0 2x = 0 x = 0 , e que satisfazem ambas as equações.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar e :

Passo 5

Com 0 + y + z = 0 y + z = 0 z = -y , substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar a relação entre e . Vamos usar a primeira equação:
Isso significa que é um parâmetro livre e é o oposto de .

Passo 6

Assim, podemos expressar os vetores do núcleo em termos de (x, y, z) = (0, y, -y) onde y in R :
Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores com variando em todos os números reais.

Passo 7

Agora, vamos determinar se a transformação Nuc(T) = , (0, y, -y) mid y in R , é injetora. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que o núcleo não é apenas o vetor zero, mas uma reta inteira de vetores com variando. Portanto, o núcleo tem infinitos vetores além do zero.

Resposta

O núcleo de é . Como o núcleo contém mais vetores além do zero, a transformação linear não é injetora.

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