Determine a de modo que as matrizes abaixo sejam invertíveis: [lll1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de 1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a que faz com que a matriz
seja invertível. Para isso, vamos usar o conceito de determinante. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, multiplicamos as diagonais principais e as secundárias:
Determinante = 1 cdot 1 cdot a + 1 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 1 - (1 cdot 1 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot a + 1 cdot 2 cdot 1)

Passo 4

Agora, vamos simplificar os cálculos:
Determinante = (1 cdot 1 cdot a) + (1 cdot 2 cdot 1) + (1 cdot 2 cdot 1) - [(1 cdot 1 cdot 1) + (1 cdot 2 cdot a) + (1 cdot 2 cdot 1)]
= a + 2 + 2 - (1 + 2a + 2)
= a + 4 - (3 + 2a)
= a + 4 - 3 - 2a
= -a + 1

Passo 5

Para a matriz ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
-a + 1 neq 0

Passo 6

Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de -a + 1 neq 0 implies -a neq -1 implies a neq 1 :

Resposta

O valor de deve ser diferente de 1 para que a matriz seja invertível, ou seja, .

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