Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b) A=[ccc2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0]
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o posto e a nulidade de duas matrizes e verificar se a soma deles é igual ao número de colunas da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre posto (rank) e nulidade (nullspace). Precisamos saber como encontrar o posto de uma matriz, que é o número de linhas independentes, e a nulidade, que é a dimensão do espaço nulo da matriz.
Passo 2
Começamos pela parte (a). A matriz dada é:
A = 1 & -1 & 3 5 & -4 & -4 7 & -6 & 2
Para encontrar o posto, vamos reduzir essa matriz a forma escalonada por linhas.
Passo 3
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha como pivô. Subtraímos 5 vezes a primeira linha da segunda e 7 vezes a primeira linha da terceira:
Linha 2 = Linha 2 - 5 times Linha 1 Linha 3 = Linha 3 - 7 times Linha 1
Isso resulta em:
A = 1 & -1 & 3 0 & 1 & -19 0 & 1 & -19
Passo 4
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira para eliminar o termo repetido:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
Obtendo:
A = 1 & -1 & 3 0 & 1 & -19 0 & 0 & 0
Agora, temos a matriz em forma escalonada. O número de linhas não nulas é 2, então o posto de é 2.
Passo 5
Para encontrar a nulidade, usamos o Teorema da Dimensão, que diz:
posto(A) + nulidade(A) = n
Onde 2 + nulidade(A) = 3 é o número de colunas da matriz, que é 3. Então:
nulidade(A) = 1
Passo 6
Agora, vamos verificar a parte (b). A matriz dada é:
A = 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0
Novamente, vamos reduzir a matriz para encontrar o posto.
Passo 7
Usamos a primeira linha como pivô e subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
Obtendo:
A = 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
A matriz está já em forma escalonada. Existe apenas uma linha não nula, então o posto de é 1.
Passo 8
Usando novamente o Teorema da Dimensão:
posto(A) + nulidade(A) = n
Com 1 + nulidade(A) = 3 :
nulidade(A) = 2
Resposta
(a) Para a matriz 1 & -1 & 3 5 & -4 & -4 7 & -6 & 2, o posto é 2 e a nulidade é 1.
(b) Para a matriz 2 & 0 & -1 4 & 0 & -2 0 & 0 & 0, o posto é 1 e a nulidade é 2.
Em ambos os casos, a soma do posto e da nulidade é igual a 3, que é o número de colunas das matrizes, confirmando o Teorema da Dimensão.