Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o posto e a nulidade de duas matrizes e verificar se a soma deles é igual ao número de colunas da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre posto (rank) e nulidade (nullspace). Precisamos saber como encontrar o posto de uma matriz, que é o número de linhas independentes, e a nulidade, que é a dimensão do espaço nulo da matriz.
Passo 2
Começamos pela parte (a). A matriz dada é:
Para encontrar o posto, vamos reduzir essa matriz a forma escalonada por linhas.
Passo 3
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha como pivô. Subtraímos 5 vezes a primeira linha da segunda e 7 vezes a primeira linha da terceira:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira para eliminar o termo repetido:
Obtendo:
Agora, temos a matriz em forma escalonada. O número de linhas não nulas é 2, então o posto de é 2.
Passo 5
Para encontrar a nulidade, usamos o Teorema da Dimensão, que diz:
Onde é o número de colunas da matriz, que é 3. Então:
Passo 6
Agora, vamos verificar a parte (b). A matriz dada é:
Novamente, vamos reduzir a matriz para encontrar o posto.
Passo 7
Usamos a primeira linha como pivô e subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
Obtendo:
A matriz está já em forma escalonada. Existe apenas uma linha não nula, então o posto de é 1.
Passo 8
Usando novamente o Teorema da Dimensão:
Com :
Resposta
(a) Para a matriz , o posto é 2 e a nulidade é 1.
(b) Para a matriz , o posto é 1 e a nulidade é 2.
Em ambos os casos, a soma do posto e da nulidade é igual a 3, que é o número de colunas das matrizes, confirmando o Teorema da Dimensão.