Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o posto e a nulidade de duas matrizes e verificar se a soma deles é igual ao número de colunas da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre posto (rank) e nulidade (nullspace). Precisamos saber como encontrar o posto de uma matriz, que é o número de linhas independentes, e a nulidade, que é a dimensão do espaço nulo da matriz.

Passo 2

Começamos pela parte (a). A matriz dada é:
Para encontrar o posto, vamos reduzir essa matriz a forma escalonada por linhas.

Passo 3

Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha como pivô. Subtraímos 5 vezes a primeira linha da segunda e 7 vezes a primeira linha da terceira:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, subtraímos a segunda linha da terceira para eliminar o termo repetido:
Obtendo:
Agora, temos a matriz em forma escalonada. O número de linhas não nulas é 2, então o posto de é 2.

Passo 5

Para encontrar a nulidade, usamos o Teorema da Dimensão, que diz:
Onde é o número de colunas da matriz, que é 3. Então:

Passo 6

Agora, vamos verificar a parte (b). A matriz dada é:
Novamente, vamos reduzir a matriz para encontrar o posto.

Passo 7

Usamos a primeira linha como pivô e subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
Obtendo:
A matriz está já em forma escalonada. Existe apenas uma linha não nula, então o posto de é 1.

Passo 8

Usando novamente o Teorema da Dimensão:
Com :

Resposta

(a) Para a matriz , o posto é 2 e a nulidade é 1.
(b) Para a matriz , o posto é 1 e a nulidade é 2.
Em ambos os casos, a soma do posto e da nulidade é igual a 3, que é o número de colunas das matrizes, confirmando o Teorema da Dimensão.

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