Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem , que denotamos por , com a operação de adição de elementos, e , definida por: e a operação de multiplicação por escalar definida por: , é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto das matrizes reais de ordem , chamado , forma um espaço vetorial real. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Precisamos verificar se satisfaz os axiomas de um espaço vetorial usando as operações de adição de matrizes e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (números reais, no nosso caso), obedecendo a certas regras chamadas axiomas. Para mostrar que é um espaço vetorial, precisamos verificar esses axiomas.

Passo 3

O primeiro axioma é a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer matrizes , e em , a soma deve satisfazer:
Como a adição de matrizes é feita elemento a elemento, essa propriedade se mantém verdadeira, pois a soma de números reais é associativa.

Passo 4

O segundo axioma é a comutatividade da adição. Para quaisquer matrizes e , devemos ter:
Novamente, como estamos somando elemento a elemento e a soma de números reais é comutativa, isso também é válido para matrizes.

Passo 5

O terceiro axioma trata do elemento neutro da adição, ou seja, existe uma matriz zero tal que, para qualquer matriz :
A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero, e somando qualquer elemento com zero não altera o valor, satisfazendo assim o axioma.

Passo 6

O quarto axioma aborda o inverso aditivo. Para cada matriz , deve existir uma matriz tal que:
Aqui, é obtida multiplicando cada elemento de por , garantindo que a soma resulte na matriz zero.

Passo 7

Agora, vamos verificar os axiomas relacionados à multiplicação por escalar. O primeiro é a distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Multiplicando cada elemento da soma por resulta na soma das matrizes e , o que confirma a propriedade.

Passo 8

O próximo axioma é a distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
Multiplicando cada elemento de por é o mesmo que multiplicar por e por separadamente e depois somar, o que também é válido.

Passo 9

O sexto axioma é a associatividade da multiplicação por escalar:
Multiplicando os escalares e antes de multiplicar pela matriz ou multiplicando sequencialmente também resulta na mesma matriz, satisfazendo o axioma.

Passo 10

Finalmente, o último axioma exige que exista um escalar neutro para a multiplicação, ou seja:
Multiplicar cada elemento de por não altera os valores dos elementos, confirmando que o escalar é o elemento neutro.

Resposta

Como todos os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, podemos concluir que o conjunto das matrizes reais de ordem é, de fato, um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados

Determine o ponto simétrico do ponto em relação ao plano .
Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b)
Considere os planos e .
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Considere o espaço vetorial munido do produto interno:
e seja o subespaço de dado por . Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt à base de , obtemos a base ortogonal: