Determine o ponto simétrico do ponto em relação ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é simétrico ao ponto em relação ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente sobre pontos simétricos em relação a planos. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e como usar essa informação para achar o ponto simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano . A equação geral de um plano é dada por:
No nosso caso, comparando com , temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar a distância de um ponto até o plano :
Vamos substituir os valores de e do plano na fórmula:

Passo 4

Para encontrar o ponto simétrico , precisamos mover o ponto duas vezes a distância na direção perpendicular ao plano . A direção perpendicular é dada pelo vetor normal ao plano, que é .
Primeiro, vamos normalizar o vetor normal para obter um vetor unitário:

Passo 5

Agora, multiplicamos o vetor unitário pela distância para obter o deslocamento necessário:

Passo 6

Finalmente, somamos esse deslocamento às coordenadas de para encontrar :

Resposta

O ponto simétrico de em relação ao plano é .

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre o posto e a nulidade da matriz; em seguida, verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensão para matrizes .
(a)
(b)
Obtenha um vetor normal ao plano nos seguintes casos:
(ii) tem equações paramétricas .
Mostre que o conjunto de todas as matrizes reais de ordem , que denotamos por , com a operação de adição de elementos, e , definida por: e a operação de multiplicação por escalar definida por: , é um espaço vetorial real.
Considere os planos e .
(iii) Ache uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto e é perpendicular a .