Determine o ponto simétrico do ponto em relação ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é simétrico ao ponto em relação ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente sobre pontos simétricos em relação a planos. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e como usar essa informação para achar o ponto simétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano . A equação geral de um plano é dada por:
No nosso caso, comparando com , temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar a distância de um ponto até o plano :
Vamos substituir os valores de e do plano na fórmula:
Passo 4
Para encontrar o ponto simétrico , precisamos mover o ponto duas vezes a distância na direção perpendicular ao plano . A direção perpendicular é dada pelo vetor normal ao plano, que é .
Primeiro, vamos normalizar o vetor normal para obter um vetor unitário:
Passo 5
Agora, multiplicamos o vetor unitário pela distância para obter o deslocamento necessário:
Passo 6
Finalmente, somamos esse deslocamento às coordenadas de para encontrar :