Determine o ponto simétrico do ponto P=(4,-7,4) em relação ao plano pi: x-3 y+z-3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto que é simétrico ao ponto em relação ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço, especificamente sobre pontos simétricos em relação a planos. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e como usar essa informação para achar o ponto simétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação do plano Ax + By + Cz + D = 0 . A equação geral de um plano é dada por:
A = 1, B = -3, C = 1, D = -3
No nosso caso, comparando com , temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar a distância d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto d = |1 cdot 4 + (-3) cdot (-7) + 1 cdot 4 - 3|raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = |4 + 21 + 4 - 3|raiz1 + 9 + 1 = |26|raiz11 = 26raiz11 até o plano :
Vamos substituir os valores de e do plano na fórmula:

Passo 4

Para encontrar o ponto simétrico u = n|n| = (1, -3, 1)raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = (1, -3, 1)raiz11 , precisamos mover o ponto duas vezes a distância na direção perpendicular ao plano . A direção perpendicular é dada pelo vetor normal ao plano, que é .
Primeiro, vamos normalizar o vetor normal para obter um vetor unitário:

Passo 5

Agora, multiplicamos o vetor unitário Deslocamento = 2d cdot u = 2 cdot 26raiz11 cdot (1, -3, 1)raiz11 = 5211 cdot (1, -3, 1) = ( 5211, -15611, 5211 ) pela distância para obter o deslocamento necessário:

Passo 6

Finalmente, somamos esse deslocamento às coordenadas de P' = P + Deslocamento = ( 4 + 5211,; -7 - 15611,; 4 + 5211 ) = ( 4411 + 5211,; -7711 - 15611,; 4411 + 5211 ) = ( 9611,; -23311,; 9611 ) para encontrar :

Resposta

O ponto simétrico de em relação ao plano é .

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