Em cada parte, mostre que u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann: u = ln(x^2 + y^2), v = 2 * arctan(y/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as funções e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, onde a gente analisa se uma função é diferenciável no contexto de números complexos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e , e depois verificar se elas obedecem às equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A função é , que é uma função termo dentro do logaritmo.
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . A função é .
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 4

As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo, as seguintes igualdades devem ser satisfeitas:
Vamos verificar:
  • e . Então, .
  • e . Então, .

Resposta

Sim, as funções e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.

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