Em cada parte, mostre que
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as funções
e
satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, onde a gente analisa se uma função é diferenciável no contexto de números complexos. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, e depois verificar se elas obedecem às equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função
é
, que é uma função termo dentro do logaritmo.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função
é
.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo, as seguintes igualdades devem ser satisfeitas:
Vamos verificar:
-
e . Então, . -
e . Então, .
Resposta
Sim, as funções
e
satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann.