Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. Nosso objetivo é encontrar todos os máximos relativos, mínimos relativos e os possíveis pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos:
- Encontrar as derivadas parciais de
em relação a e . - Igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos.
- Analisar esses pontos críticos usando a segunda derivada para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero ao mesmo tempo.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Começamos pela segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Com o ponto crítico encontrado, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Passo 6
Interpretando o resultado:
- Se
e : mínimo relativo. - Se
e : máximo relativo. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
e não apresenta máximos ou mínimos relativos.
Exercícios relacionados
Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
Em cada parte, mostre que
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Calcule os limites abaixo, caso existam.
(d)
(d)