Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar todos os máximos relativos, mínimos relativos e os possíveis pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Basicamente, vamos:
  1. Encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  2. Igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos.
  3. Analisar esses pontos críticos usando a segunda derivada para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero ao mesmo tempo.
Então, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Começamos pela segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Com o ponto crítico encontrado, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela usando a segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):

Passo 6

Interpretando o resultado:
  • Se e : mínimo relativo.
  • Se e : máximo relativo.
  • Se : ponto de sela.
  • Se : teste inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um ponto de sela em e não apresenta máximos ou mínimos relativos.

Exercícios relacionados

Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
Em cada parte, mostre que e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Calcule os limites abaixo, caso existam.
(d)