Em cada parte, mostre que u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann: u = e^x cos(y), v = e^x sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. As equações de Cauchy-Riemann são um conjunto de condições que funções de variáveis complexas precisam obedecer para serem diferenciáveis no sentido complexo, ou seja, para serem funções analíticas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e e verificar se elas obedecem às equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Cauchy-Riemann. Para funções e , elas são dadas por:
Então, nosso objetivo é calcular essas derivadas e verificar se essas igualdades são verdadeiras.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Observamos que:
Então, a primeira equação de Cauchy-Riemann é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Então, temos:
Portanto, a segunda equação de Cauchy-Riemann também é satisfeita.

Resposta

As funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

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