Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso está dentro da matéria de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos permita simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Essa identidade é útil porque sabemos como integrar
e
facilmente.
Passo 3
Agora, substituímos
na integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente.
Sabemos que:
- A integral de
é - A integral de
é
Então:
Passo 5
Aplicamos os limites de integração a cada termo:
Calculando:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Em cada parte, mostre que
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Considere o modelo de produção de Cobb-Douglas
, encontre o valor máximo de
se o trabalho custa
por unidade, o capital custa
por unidade e o custo total de trabalho e capital é fixado em R
. Como devem ser alocados os R
entre trabalho e capital para atingir o máximo de
?
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