Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)
integral0^pi / 4 tg^2 x d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de tan^2 x no intervalo de 0 a pi/4. Isso está dentro da matéria de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos permita simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan^2 x pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Essa identidade é útil porque sabemos como integrar sec^2 x e 1 facilmente.

Passo 3

Agora, substituímos tan^2 x na integral:
integral0^pi / 4 tan^2 x , dx = integral0^pi / 4 (sec^2 x - 1) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
integral0^pi / 4 sec^2 x , dx - integral0^pi / 4 1 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente.
Sabemos que:
  • A integral de sec^2 x é tan x
  • A integral de 1 é x
Então:
integral sec^2 x , dx = tan x + C
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Aplicamos os limites de integração a cada termo:
[ tan x ]0^pi / 4 - [ x ]0^pi / 4
Calculando:
tan ( pi4 ) - tan (0) - ( pi4 - 0 )
Sabemos que:
tan ( pi4 ) = 1 e tan (0) = 0
Então:
1 - 0 - pi4 = 1 - pi4

Resposta

O valor da integral é 1 - dfracpi4.

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