Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a função integral . O conteúdo aqui envolve integração de funções racionais, especificamente utilizando logaritmos naturais para encontrar a antiderivada. Vamos precisar lembrar das regras básicas de integração e como aplicar o logaritmo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função . Sabemos que a integral de em relação a é mais uma constante. No nosso caso, e .
Então, a antiderivada de é:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de 0 a . Isso significa que vamos calcular:
Que é igual a:
Simplificando a segunda parte:
Como , fica:
Podemos juntar os logaritmos:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio dessa função integral. O logaritmo só é definido para argumentos positivos, então precisamos que:
Isso significa que , ou seja:
Além disso, para que a fração dentro do logaritmo seja positiva, deve ser diferente de zero. Portanto, o domínio é todos os reais exceto .

Resposta

A função integral é dada por:
E o domínio dessa função é todos os números reais tais que .

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