Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a função integral
. O conteúdo aqui envolve integração de funções racionais, especificamente utilizando logaritmos naturais para encontrar a antiderivada. Vamos precisar lembrar das regras básicas de integração e como aplicar o logaritmo nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função
. Sabemos que a integral de
em relação a
é
mais uma constante. No nosso caso,
e
.
Então, a antiderivada de
é:
Passo 3
Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de 0 a
. Isso significa que vamos calcular:
Que é igual a:
Simplificando a segunda parte:
Como
, fica:
Podemos juntar os logaritmos:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio dessa função integral. O logaritmo só é definido para argumentos positivos, então precisamos que:
Isso significa que
, ou seja:
Além disso, para que a fração dentro do logaritmo seja positiva,
deve ser diferente de zero. Portanto, o domínio é todos os reais exceto
.
Resposta
A função integral é dada por:
E o domínio dessa função é todos os números reais
tais que
.