Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
integral0^x 18 t-3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a função integral . O conteúdo aqui envolve integração de funções racionais, especificamente utilizando logaritmos naturais para encontrar a antiderivada. Vamos precisar lembrar das regras básicas de integração e como aplicar o logaritmo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função 18 ln|8 t - 3| . Sabemos que a integral de em relação a é mais uma constante. No nosso caso, e .
Então, a antiderivada de é:

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de 0 a [ 18 ln|8 t - 3| ]0^x . Isso significa que vamos calcular:
18 ln|8 x - 3| - 18 ln|8 cdot 0 - 3|
Que é igual a:
18 ln|8 x - 3| - 18 ln| -3|
Simplificando a segunda parte:
18 ln|8 x - 3| - 18 ln 3
Como 18 ln( |8 x - 3|3 ) , fica:
Podemos juntar os logaritmos:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio dessa função integral. O logaritmo só é definido para argumentos positivos, então precisamos que:
|8 x - 3|3 > 0
Isso significa que 8 x neq 3 implies x neq 38 , ou seja:
Além disso, para que a fração dentro do logaritmo seja positiva, deve ser diferente de zero. Portanto, o domínio é todos os reais exceto .

Resposta

A função integral é dada por:
integral0^x 18 t - 3 , dt = 18 ln( |8 x - 3|3 )
E o domínio dessa função é todos os números reais tais que .

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