Considere o modelo de produção de Cobb-Douglas
, encontre o valor máximo de
se o trabalho custa
por unidade, o capital custa
por unidade e o custo total de trabalho e capital é fixado em R
. Como devem ser alocados os R
entre trabalho e capital para atingir o máximo de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma função de produção do tipo Cobb-Douglas:
. Isso significa que a produção
depende da quantidade de trabalho
e capital
utilizados, com os exponentes indicando a importância relativa de cada fator.
A gente também sabe que:
- O custo do trabalho é R$50,00 por unidade.
- O custo do capital é R$100,00 por unidade.
- O custo total para gastar com trabalho e capital é fixo em R$200.000,00.
Nosso objetivo é descobrir como dividir esses R$200.000,00 entre trabalho e capital para maximizar a produção
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função Cobb-Douglas tem uma propriedade interessante: os expoentes dos fatores de produção representam, na verdade, a parcela do custo total que deve ser alocada para cada fator para maximizar a produção.
No nosso caso, o expoente de
é 0,6 e o de
é 0,4. Isso significa que 60% do custo total deve ser gasto em trabalho e 40% em capital.
Passo 3
Vamos calcular quanto dos R$200.000,00 deve ser gasto em trabalho e quanto em capital.
Para o trabalho:
Para o capital:
Passo 4
Agora, vamos calcular a quantidade de trabalho
e de capital
que podem ser comprados com esses valores.
Para o trabalho:
Para o capital:
Passo 5
Com os valores de
e
definidos, vamos agora calcular a produção máxima
usando a função de produção original:
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcular
:
Depois, calcular
:
Agora, multiplicar tudo:
Resposta
Para maximizar a produção
, os R$200.000,00 devem ser alocados da seguinte forma:
- Trabalho: 2.400 unidades
- Capital: 800 unidades
Com essa alocação, a produção máxima alcançada será de aproximadamente R$1.554.000,00.
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Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Uma caixa retangular fechada com um volume de
é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrado e os lados, de um material que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo dos materiais seja minimizado.
Em cada parte, mostre que
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico)