Em cada parte, mostre que u(x, y) e v(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
(a) u=x^2-y^2, v=2 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, onde a gente verifica se uma função é analítica. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e e ver se elas obedecem às equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial upartial x = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x em relação a partial upartial y = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y e partial vpartial x = partialpartial x(2xy) = 2y :
partial vpartial y = partialpartial y(2xy) = 2x
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos verificar se elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação de Cauchy-Riemann é:
partial upartial x = partial vpartial y
Substituindo os valores que encontramos:
2x = 2x (Verdadeiro)
A segunda equação de Cauchy-Riemann é:
partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo os valores:
-2y = -2y (Verdadeiro)

Resposta

Sim, as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

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