Em cada parte, mostre que e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, onde a gente verifica se uma função é analítica. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e e ver se elas obedecem às equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos verificar se elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação de Cauchy-Riemann é:
Substituindo os valores que encontramos:
A segunda equação de Cauchy-Riemann é:
Substituindo os valores:

Resposta

Sim, as funções e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.

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(l)
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