0,5 ponto) Para quais valores da constante c a função f é contínua em (-infinito, infinito) ?
Oco
f(x) = { c*x^2 + 2*x se x < 2, x^3 - c*x se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir quais valores da constante fazem a função ser contínua em todo o eixo real, ou seja, de a . A matéria aqui é continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta nos pontos onde a definição muda, que é em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em todos os lugares: ela não pode ter “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. No caso da nossa função , ela é definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . Então, o único ponto que precisamos verificar para garantir a continuidade é exatamente em .

Passo 3

Para que a função seja contínua em , o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ) usando a primeira parte da função:

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela direita ( ) usando a segunda parte da função:

Passo 6

Sabemos que para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em todo o eixo real é .

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