0,5 ponto) Encontre as assíntotas horizontais e verticais da função
Oco
f(x)=(1-x^2)/(x^2-9)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e suas assíntotas. Precisaremos entender como identificar assíntotas horizontais olhando para o comportamento da função quando vai para infinito ou menos infinito, e assíntotas verticais observando onde o denominador se zera.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Podemos reescrever a função:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a estrutura da função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero (para evitar uma forma indeterminada). Vamos resolver :
Então, temos possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 4

Para confirmar que realmente são assíntotas verticais, verificamos os valores do numerador nesses pontos:
Como o denominador se zera e o numerador é diferente de zero, existem assíntotas verticais em e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Na nossa função:
  • Coeficiente do no numerador: -1
  • Coeficiente do no denominador: 1
Portanto, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e e uma assíntota horizontal em .

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