Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o gradiente da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde o gradiente nos mostra a direção e a taxa de variação máxima de uma função em várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais:
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais para a função dada.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos:
Aqui, percebemos que é uma função do tipo quociente, onde e . Para derivadas parciais de quocientes, usamos a regra do quociente:
Vamos calcular cada parte:
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma abordagem:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Então:
Simplificando:

Resposta

Então, juntando tudo, o gradiente da função é:

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ponto) Para quais valores da constante a função é contínua em ?
Oco
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(j)
Em cada parte, mostre que e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
(a)
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Oco