Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o gradiente da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, onde o gradiente nos mostra a direção e a taxa de variação máxima de uma função em várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais:
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais para a função dada.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Aqui, percebemos que
é uma função do tipo quociente, onde
e
. Para derivadas parciais de quocientes, usamos a regra do quociente:
Vamos calcular cada parte:
Agora, substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma abordagem:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Então:
Simplificando:
Resposta
Então, juntando tudo, o gradiente da função
é:
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Oco
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(j)
(j)
Em cada parte, mostre que
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann.
(a)
Oco