Em cada parte resolva a equação matricial em X.
(a) X[rrr-1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 3 & 1 & -1]=[rrr1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação matricial! O que a gente tem aqui é uma equação onde uma matriz está sendo multiplicada por outra matriz conhecida, e isso resulta em uma terceira matriz. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de equações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de multiplicação de matrizes e, provavelmente, a inversa de uma matriz para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , onde é de tamanho e é de tamanho , o resultado será uma matriz de tamanho . Cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de pela coluna de .

Passo 3

A nossa equação é:

[
X \cdot X cdot -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 3 & 1 & -1 = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5


]
Aqui, é uma matriz desconhecida que multiplicamos pela matriz de 3x3 à direita, e o resultado é uma matriz de 2x3. Isso significa que deve ser uma matriz de 2x3 para que a multiplicação seja válida.

Passo 4

Para isolar A = -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 3 & 1 & -1 , precisamos “desfazer” a multiplicação. Assim como na álgebra comum, onde dividimos ambos os lados de uma equação por um número para isolar uma variável, aqui vamos usar a inversa da matriz que está sendo multiplicada.
Seja a matriz:
Queremos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , desde que ela exista.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar se a matriz det(A) = -1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 3) + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 3) tem inversa. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de det(A) = -1 cdot (-1 - 0) - 0 cdot (-1 - 0) + 1 cdot (1 - 3) :
det(A) = (-1)(-1) + 0 + (1)(-2)
det(A) = 1 + 0 - 2 = -1
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz tem inversa.

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de X cdot A cdot A^-1 = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5 cdot A^-1 à direita:
X cdot I = X = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5 cdot A^-1
Como (a matriz identidade), temos:
Então, é igual à matriz dada multiplicada pela inversa de .

Passo 7

Vamos calcular Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é um pouco trabalhosa, mas vamos fazer passo a passo.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de C11 = det 1 & 0 1 & -1 = (1)(-1) - (0)(1) = -1 :
C12 = -det 1 & 0 3 & -1 = -[(1)(-1) - (0)(3)] = -(-1) = 1
Onde cada C13 = det 1 & 1 3 & 1 = (1)(1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2 é o cofator correspondente.
Calculando os cofatores:
C21 = -det 0 & 1 1 & -1 = -[(0)(-1) - (1)(1)] = -(-1) = 1
C22 = det -1 & 1 3 & -1 = (-1)(-1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2
C23 = -det -1 & 0 3 & 1 = -[(-1)(1) - (0)(3)] = -(-1) = 1
C31 = det 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) - (1)(1) = -1
C32 = -det -1 & 1 1 & 0 = -[(-1)(0) - (1)(1)] = -(-1) = 1
C33 = det -1 & 0 1 & 1 = (-1)(1) - (0)(1) = -1
Cof(A) = -1 & 1 & -2 1 & -2 & 1 -1 & 1 & -1
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 8

Agora, a adjunta de Adj(A) = Cof(A)^T = -1 & 1 & -1 1 & -2 & 1 -2 & 1 & -1 é a transposta da matriz dos cofatores:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-1 cdot -1 & 1 & -1 1 & -2 & 1 -2 & 1 & -1 = 1 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 2 & -1 & 1
Finalmente, a inversa de é dada por:

Passo 9

Agora que temos X = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5 cdot 1 & -1 & 1 -1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 , vamos multiplicar a matriz dada pela inversa para encontrar x11 = (1)(1) + (2)(-1) + (0)(2) = 1 - 2 + 0 = -1 :
x12 = (1)(-1) + (2)(2) + (0)(-1) = -1 + 4 + 0 = 3
Vamos calcular cada elemento de x13 = (1)(1) + (2)(-1) + (0)(1) = 1 - 2 + 0 = -1 :
Para a primeira linha de x21 = (-3)(1) + (1)(-1) + (5)(2) = -3 -1 + 10 = 6 :
x22 = (-3)(-1) + (1)(2) + (5)(-1) = 3 + 2 -5 = 0
x23 = (-3)(1) + (1)(-1) + (5)(1) = -3 -1 +5 = 1
Para a segunda linha de :

Resposta

A matriz X = -1 & 3 & -1 6 & 0 & 1 que resolve a equação matricial é:

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