Beleza, vamos resolver essa equação matricial! O que a gente tem aqui é uma equação onde uma matriz está sendo multiplicada por outra matriz conhecida, e isso resulta em uma terceira matriz. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de equações matriciais. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de multiplicação de matrizes e, provavelmente, a inversa de uma matriz para isolar o .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , onde é de tamanho e é de tamanho , o resultado será uma matriz de tamanho . Cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de pela coluna de .
Aqui, é uma matriz desconhecida que multiplicamos pela matriz de 3x3 à direita, e o resultado é uma matriz de 2x3. Isso significa que deve ser uma matriz de 2x3 para que a multiplicação seja válida.
Passo 4
Para isolar A = -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 3 & 1 & -1 , precisamos “desfazer” a multiplicação. Assim como na álgebra comum, onde dividimos ambos os lados de uma equação por um número para isolar uma variável, aqui vamos usar a inversa da matriz que está sendo multiplicada.
Seja a matriz:
Queremos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , desde que ela exista.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar se a matriz det(A) = -1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 3) + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 3) tem inversa. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero.
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz tem inversa.
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de X cdot A cdot A^-1 = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5 cdot A^-1 à direita:
X cdot I = X = 1 & 2 & 0 -3 & 1 & 5 cdot A^-1
Como (a matriz identidade), temos:
Então, é igual à matriz dada multiplicada pela inversa de .
Passo 7
Vamos calcular Cof(A) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é um pouco trabalhosa, mas vamos fazer passo a passo.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de C11 = det 1 & 0 1 & -1 = (1)(-1) - (0)(1) = -1 :