Sejam
e
.
c) As coordenadas de um vetor
em relação a base
são dadas por
. Quais as coordenadas deste vetor em relação as outras bases?
c) As coordenadas de um vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
cujas coordenadas na base
são dadas por
. O que isso significa? Basicamente, o vetor
é uma combinação das bases de
com esses coeficientes. Nosso objetivo aqui é descobrir como esse mesmo vetor
se representa nas outras bases que a gente tem, que são a base
e a base
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre mudança de base e como converter as coordenadas de um sistema para outro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são usados para construir qualquer outro vetor no espaço através de combinações lineares. No nosso caso, a base
é a base padrão do plano, ou seja,
. Já a base
e
são outras formas de representar o espaço.
Como
é a base padrão, as coordenadas de qualquer vetor nessa base são simplesmente seus componentes
. Então, se a gente conseguir encontrar as coordenadas de
na base padrão, já vai ter as coordenadas na base
.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor
em coordenadas padrão. Sabemos que
, o que significa:
Fazendo a combinação, temos:
Então, nas coordenadas padrão (base
), o vetor
é
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. A base
também é uma base padrão apenas escalada. Para encontrar
, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
.
Ou seja, queremos encontrar números
e
tais que:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Portanto:
Resposta
As coordenadas do vetor
são: