Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(2,0),(0,2).
c) As coordenadas de um vetor v em relação a base beta são dadas por [v]beta=[l4 0]. Quais as coordenadas deste vetor em relação as outras bases?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor 4 0 cujas coordenadas na base são dadas por . O que isso significa? Basicamente, o vetor é uma combinação das bases de com esses coeficientes. Nosso objetivo aqui é descobrir como esse mesmo vetor se representa nas outras bases que a gente tem, que são a base e a base . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre mudança de base e como converter as coordenadas de um sistema para outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são usados para construir qualquer outro vetor no espaço através de combinações lineares. No nosso caso, a base é a base padrão do plano, ou seja, . Já a base e são outras formas de representar o espaço.
Como é a base padrão, as coordenadas de qualquer vetor nessa base são simplesmente seus componentes . Então, se a gente conseguir encontrar as coordenadas de na base padrão, já vai ter as coordenadas na base .

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor 4 0 em coordenadas padrão. Sabemos que v = 4 cdot (-1, 1) + 0 cdot (1, 1) , o que significa:
v = 4 cdot (-1, 1) = (-4, 4)
Fazendo a combinação, temos:
[v]alpha = -4 4
Então, nas coordenadas padrão (base ), o vetor é . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = a cdot (2, 0) + b cdot (0, 2) na base (-4, 4) = (2a, 0) + (0, 2b) = (2a, 2b) . A base 2a = -4 2b = 4 também é uma base padrão apenas escalada. Para encontrar a = -42 = -2 b = 42 = 2 , precisamos expressar [v]gamma = -2 2 como uma combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, queremos encontrar números e tais que:
Sabemos que , então:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Portanto:

Resposta

As coordenadas do vetor [v]alpha = -4 4 e [v]gamma = -2 2 são:

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