Seja
uma transformação linear assim definida na base canônica
e
. Determine
, onde
é um vetor genérico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para encontrar a transformação linear
no espaço tridimensional, dado que sabemos como
age sobre os vetores da base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar essas transformações para qualquer vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear
transforma vetores de
de maneira que respeita a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 3
Sabemos como
age sobre os vetores da base canônica:
Isso significa que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 4
Vamos expressar
usando a propriedade de linearidade:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar cada componente:
Passo 6
Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
Resposta
Portanto, a transformação linear
é dada por: