Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear assim definida na base canônica T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(5,2,7) e T(0,0,1)=(-2,0,7). Determine T(x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão pede para encontrar a transformação linear no espaço tridimensional, dado que sabemos como age sobre os vetores da base canônica. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar essas transformações para qualquer vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear transforma vetores de de maneira que respeita a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Sabemos como T(1, 0, 0) = (2, 3, 1) age sobre os vetores da base canônica:
T(0, 1, 0) = (5, 2, 7)
T(0, 0, 1) = (-2, 0, 7)
Isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 4

Vamos expressar T(x, y, z) = x cdot T(1, 0, 0) + y cdot T(0, 1, 0) + z cdot T(0, 0, 1) usando a propriedade de linearidade:
T(x, y, z) = x cdot (2, 3, 1) + y cdot (5, 2, 7) + z cdot (-2, 0, 7)
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar cada componente:
= (2x, 3x, x) + (5y, 2y, 7y) + (-2z, 0, 7z)

Passo 6

Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
= (2x + 5y - 2z, 3x + 2y + 0, x + 7y + 7z)

Resposta

Portanto, a transformação linear T(x, y, z) = (2x + 5y - 2z, 3x + 2y, x + 7y + 7z) é dada por:

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