Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
h)
tal que
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função
definida por
é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
-
(Preservação da adição) -
(Preservação da multiplicação por escalar)
Passo 3
Vamos começar verificando a preservação da adição. Digamos que temos dois polinômios
e
. A soma deles é:
Aplicando a função
nessa soma:
Agora, aplicando
separadamente em
e
e somando os resultados:
Vimos que
, então a função preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Multiplicando
por
:
Aplicando a função
:
Então,
, o que mostra que a função também preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear.