Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
h) f: P3 P2 tal que f(a x^3+b x^2+c x+d)=3 a x^2+2 b x+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função definida por é uma transformação linear. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer polinômios e em e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. (Preservação da adição)
  2. (Preservação da multiplicação por escalar)

Passo 3

Vamos começar verificando a preservação da adição. Digamos que temos dois polinômios p + q = (a + a')x^3 + (b + b')x^2 + (c + c')x + (d + d') e f(p + q) = 3(a + a')x^2 + 2(b + b')x + (c + c') . A soma deles é:
f(p) + f(q) = (3a x^2 + 2b x + c) + (3a' x^2 + 2b' x + c') = 3(a + a')x^2 + 2(b + b')x + (c + c')
Aplicando a função nessa soma:
Agora, aplicando separadamente em e e somando os resultados:
Vimos que , então a função preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a preservação da multiplicação por escalar. Seja k cdot p = (k a)x^3 + (k b)x^2 + (k c)x + (k d) um escalar e f(k cdot p) = 3(k a)x^2 + 2(k b)x + (k c) = k(3a x^2 + 2b x + c) = k cdot f(p) . Multiplicando por :
Aplicando a função :
Então, , o que mostra que a função também preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, a função é uma transformação linear.

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