Calcular a matriz inversa de:
a) A=[ll 3 & 5 1 & 2 ] b) B=[ccc -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ] c) C=[llll 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a matriz inversa das matrizes A, B e C que você me mandou. Isso faz parte da álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas. Para resolver isso, a gente vai precisar saber calcular determinantes, adjuntas e, dependendo do tamanho da matriz, usar métodos específicos como a regra de Sarrus para matrizes 3x3 ou a regra geral para maiores dimensões.

Passo 2

a) Calculando a inversa de A

Primeiro, vamos olhar para a matriz A:
A = [ll 3 & 5 1 & 2 ]
Como A é uma matriz 2x2, podemos usar a fórmula direta para encontrar a inversa.

Passo 3

Para uma matriz 2x2:
A = [cc a & b c & d ]
A inversa é dada por:
A^-1 = 1ad - bc [cc d & -b -c & a ]
Então, precisamos calcular o determinante primeiro.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 [cc 2 & -5 -1 & 3 ] = [cc 2 & -5 -1 & 3 ]

Passo 6

b) Calculando a inversa de B

Agora, vamos para a matriz B:
B = [ccc -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ]
Como B é uma matriz 3x3, vamos usar a regra de cofatores para encontrar a inversa.

Passo 7

Primeiro, calculamos o determinante de B. Podemos expandir pelo segundo elemento da primeira coluna que contém um zero para simplificar:
det(B) = -3 cdot det[cc 1 & 2 -5 & 4 ] - 0 + 3 cdot det[cc 4 & -5 1 & 2 ]
Calculando os determinantes menores:
det[cc 1 & 2 -5 & 4 ] = (1)(4) - (2)(-5) = 4 + 10 = 14
det[cc 4 & -5 1 & 2 ] = (4)(2) - (-5)(1) = 8 + 5 = 13

Passo 8

Agora, substituindo na fórmula do determinante:
det(B) = -3(14) + 0 + 3(13) = -42 + 0 + 39 = -3
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.

Passo 9

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de B. Isso envolve encontrar a matriz de cofatores e, depois, transpor essa matriz.
Calculando cada cofator:
  • Cofator C11:
C11 = det[cc 1 & 2 -5 & 4 ] = 14
  • Cofator C12:
C12 = -det[cc 0 & 2 3 & 4 ] = -(0 cdot 4 - 2 cdot 3) = -(-6) = 6
  • Cofator C13:
C13 = det[cc 0 & 1 3 & -5 ] = (0)(-5) - (1)(3) = -3
  • Cofator C21:
C21 = -det[cc 4 & -5 -5 & 4 ] = -((4)(4) - (-5)(-5)) = -(16 - 25) = 9
  • Cofator C22:
C22 = det[cc -3 & -5 3 & 4 ] = (-3)(4) - (-5)(3) = -12 + 15 = 3
  • Cofator C23:
C23 = -det[cc -3 & 4 3 & -5 ] = -((-3)(-5) - (4)(3)) = -(15 - 12) = -3
  • Cofator C31:
C31 = det[cc 4 & -5 1 & 2 ] = (4)(2) - (-5)(1) = 8 + 5 = 13
  • Cofator C32:
C32 = -det[cc -3 & -5 0 & 2 ] = -((-3)(2) - (-5)(0)) = -(-6 - 0) = 6
  • Cofator C33:
C33 = det[cc -3 & 4 0 & 1 ] = (-3)(1) - (4)(0) = -3

Passo 10

Agora, montamos a matriz de cofatores:
Cof(B) = [ccc 14 & 6 & -3 9 & 3 & -3 13 & 6 & -3 ]
Em seguida, transpomos essa matriz para obter a adjunta:
Adj(B) = [ccc 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3 ]

Passo 11

Finalmente, a inversa de B é dada por:
B^-1 = 1det(B) cdot Adj(B) = 1-3 [ccc 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3 ] = [ccc -143 & -3 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1 ]

Passo 12

c) Calculando a inversa de C

Agora, vamos para a matriz C:
C = [llll 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1 ]
Essa é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, então a inversa também será triangular inferior com 1’s na diagonal.

Passo 13

Para matrizes triangulares com 1’s na diagonal, a inversa pode ser encontrada facilmente resolvendo , onde I é a matriz identidade.
Vamos construir da seguinte maneira:
A diagonal principal será 1. As outras posições abaixo da diagonal serão os coeficientes que anulam os termos correspondentes quando multiplicarmos .

Passo 14

Montando C^-1 = [llll 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 -2 & 3 & -2 & 1 ] :

Resposta

As matrizes inversas são:
a)
A^-1 = [cc 2 & -5 -1 & 3 ]
b)
B^-1 = [ccc -dfrac143 & -3 & -dfrac133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1 ]
c)
C^-1 = [llll 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 -2 & 3 & -2 & 1 ]

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