Em cada parte, selecione o termo que melhor descreve as curvas de nível da função f. Escolha dentre os termos: retas, círculos, elipses não circulares, parábolas ou hipérbolas.
(a) f(x, y) = x^2 - 2xy + y^2

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para identificar o tipo de curvas de nível da função . As curvas de nível são gráficos onde a função assume um valor constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a curva de nível como , onde é uma constante. Assim, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Observe que:
Portanto, a equação da curva de nível fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Cada uma dessas equações representa uma reta no plano . Portanto, para cada valor positivo de , temos duas retas paralelas. Se , a equação se reduz a , que é uma única reta.

Resposta

As curvas de nível da função são retas.

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