Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer saber se a série infinita
converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula a soma dela. Para resolver isso, vamos usar os testes de convergência de séries, especialmente o teste do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo aqui é descobrir o que esse termo faz quando
fica bem grande, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral quando
vai para o infinito:
Para simplificar, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite do termo geral é 1.
Passo 4
De acordo com o teste da divergência (ou teste do limite), se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. Aqui, o limite é 1, que não é zero.
Resposta
A série
diverge.