Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty nraiz1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer saber se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, a gente também calcula a soma dela. Para resolver isso, vamos usar os testes de convergência de séries, especialmente o teste do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Nosso objetivo aqui é descobrir o que esse termo faz quando fica bem grande, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty nraiz1+n^2 vai para o infinito:
limn to infty 1raiz1n^2 + 1 = 1raiz0 + 1 = 1
Para simplificar, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então, o limite do termo geral é 1.

Passo 4

De acordo com o teste da divergência (ou teste do limite), se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série diverge. Aqui, o limite é 1, que não é zero.

Resposta

A série diverge.

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