Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é uma soma que continua indefinidamente. Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série original:
Para verificar a convergência absoluta, a gente olha para os valores absolutos dos termos da série:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatoriais. O teste da razão diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não é conclusivo.
Vamos calcular esse limite para a série dos valores absolutos:
an = 10^nn!
Então,
an+1an = 10^n+1/(n+1)!10^n/n! = 10n+1
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 10n+1 = 0 tende ao infinito:
Como 0 < 1, de acordo com o teste da razão, a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Já que a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é uma propriedade mais forte.