Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
b) sumn=0^infty (-10)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, que é uma soma que continua indefinidamente. Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de convergência de séries, especialmente o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original:
sumn=0^infty (-10)^nn!
Para verificar a convergência absoluta, a gente olha para os valores absolutos dos termos da série:
sumn=0^infty | (-10)^nn! | = sumn=0^infty 10^nn!

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos fatoriais. O teste da razão diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.
Vamos calcular esse limite para a série dos valores absolutos:
an = 10^nn!
Então,
an+1an = 10^n+1/(n+1)!10^n/n! = 10n+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 10n+1 = 0 tende ao infinito:
Como 0 < 1, de acordo com o teste da razão, a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original é absolutamente convergente. E quando uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é uma propriedade mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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