Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
© (5 A^T)^-1=[rr-3 & -1 5 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz A sabendo que a inversa de cinco vezes a transposta de A é igual a uma matriz específica que foi dada. Aqui a gente vai usar conceitos de álgebra linear, como matriz transposta e inversa. Vamos precisar mexer com operações de matrizes e entender como elas funcionam para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a expressão significa. Aqui, é a transposta da matriz A. Multiplicar uma matriz por 5 significa que cada elemento dessa matriz será multiplicado por 5. Depois, representa a matriz inversa de .

Passo 3

Sabemos que a inversa de uma matriz inversa traz a matriz original. Então, se M = -3 & -1 5 & 2 , onde 5 A^T = M^-1 é a matriz dada:
Podemos inverter ambos os lados da equação para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa da matriz M^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a . Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
ad - bc = (-3)(2) - (-1)(5) = -6 + 5 = -1
Onde M^-1 = 1-1 2 & 1 -5 & -3 = -2 & -1 5 & 3 , , e . Calculando o determinante:
Então,

Passo 5

Agora que temos 5 A^T = -2 & -1 5 & 3 , podemos voltar à equação A^T = 15 -2 & -1 5 & 3 = -25 & -15 1 & 35 :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 5:

Passo 6

Finalmente, para encontrar A, basta transpor A = ( A^T )^T = -25 & 1 -15 & 35 :

Resposta

A matriz A é:
A = -dfrac25 & 1 -dfrac15 & dfrac35

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