Em cada parte use a informação dada para encontrar
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz A sabendo que a inversa de cinco vezes a transposta de A é igual a uma matriz específica que foi dada. Aqui a gente vai usar conceitos de álgebra linear, como matriz transposta e inversa. Vamos precisar mexer com operações de matrizes e entender como elas funcionam para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a expressão
significa. Aqui,
é a transposta da matriz A. Multiplicar uma matriz por 5 significa que cada elemento dessa matriz será multiplicado por 5. Depois,
representa a matriz inversa de
.
Passo 3
Sabemos que a inversa de uma matriz inversa traz a matriz original. Então, se
, onde
é a matriz dada:
Podemos inverter ambos os lados da equação para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa da matriz
. Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
Onde
,
,
e
. Calculando o determinante:
Então,
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar à equação
:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 5:
Passo 6
Finalmente, para encontrar A, basta transpor
:
Resposta
A matriz A é: