Scja A a matriz
[ll 3 & 1 2 & 1 ]
Em cada parte encontre p(A).
© p(x)=x^3-2 x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz A = 3 & 1 2 & 1 dada por
e precisa encontrar onde . Esse exercício está relacionado com o tema de polinômios de matrizes na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular potências da matriz e combinar esses resultados conforme o polinômio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 3 & 1 2 & 1 times 3 & 1 2 & 1 , que é 3 times 3 + 1 times 2 = 9 + 2 = 11 multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
3 times 1 + 1 times 1 = 3 + 1 = 4
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
2 times 3 + 1 times 2 = 6 + 2 = 8
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
2 times 1 + 1 times 1 = 2 + 1 = 3
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 1):
A^2 = 11 & 4 8 & 3
  • Quarto elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 11 & 4 8 & 3 times 3 & 1 2 & 1 , que é 11 times 3 + 4 times 2 = 33 + 8 = 41 multiplicada por 11 times 1 + 4 times 1 = 11 + 4 = 15 :
8 times 3 + 3 times 2 = 24 + 6 = 30
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
8 times 1 + 3 times 1 = 8 + 3 = 11
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
A^3 = 41 & 15 30 & 11
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 1):
  • Quarto elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 4

Agora que temos 2A = 2 times 3 & 1 2 & 1 = 6 & 2 4 & 2 , precisamos calcular :

[
2A = 2 \times


]

Passo 5

Também precisamos do termo constante 4I = 4 times 1 & 0 0 & 1 = 4 & 0 0 & 4 . Como estamos lidando com matrizes, adicionamos multiplicado pela matriz identidade :

[
4I = 4 \times


]

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na expressão de p(A) = A^3 - 2A + 4I = 41 & 15 30 & 11 - 6 & 2 4 & 2 + 4 & 0 0 & 4 :

[
p(A) = A^3 - 2A + 4I =
41 - 6 & 15 - 2 30 - 4 & 11 - 2 = 35 & 13 26 & 9

35 + 4 & 13 + 0 26 + 0 & 9 + 4 = 39 & 13 26 & 13
+

]
Vamos subtrair de :

[


]
E agora, adicionar :

[


]

Resposta

Portanto, 39 & 13 26 & 13 .

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