Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
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x1+3 x2+x3 & =4 2 x1+2 x2+x3 & =-1 2 x1+3 x2+x3 & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da inversa de matrizes. O que isso significa? Basicamente, vamos representar o sistema como uma matriz, encontrar a inversa dessa matriz e então multiplicar pela matriz dos resultados para achar os valores de , e . Para isso, vamos precisar lembrar como montar matrizes, calcular a inversa e fazer a multiplicação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1 , X = x1 x2 x3 , B = 4 -1 3 , onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 1) - 3 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 3 - 2 cdot 2) = 1 cdot (-1) - 3 cdot (0) + 1 cdot (2) = -1 + 0 + 2 = 1 , que é . A inversa de uma matriz só existe se o determinante da matriz for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz inversa existe.

Passo 4

Para encontrar Cof(A) = (2 cdot 1 - 3 cdot 1) & -(2 cdot 1 - 2 cdot 1) & (2 cdot 3 - 2 cdot 2) -(3 cdot 1 - 1 cdot 1) & (1 cdot 1 - 2 cdot 1) & -(1 cdot 3 - 2 cdot 1) (3 cdot 1 - 2 cdot 1) & -(1 cdot 1 - 2 cdot 1) & (1 cdot 2 - 2 cdot 3) = -1 & 0 & 2 -2 & -1 & -1 1 & 1 & -4 , vamos usar a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante. Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de Adj(A) = -1 & -2 & 1 0 & -1 & 1 2 & -1 & -4 :
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1 cdot -1 & -2 & 1 0 & -1 & 1 2 & -1 & -4 = -1 & -2 & 1 0 & -1 & 1 2 & -1 & -4
Agora, a adjunta de é a transposta da matriz de cofatores:
Então, a inversa de é:

Passo 5

Agora que temos X = A^-1 cdot B = -1 & -2 & 1 0 & -1 & 1 2 & -1 & -4 cdot 4 -1 3 , vamos multiplicá-la pela matriz x1 = (-1) cdot 4 + (-2) cdot (-1) + 1 cdot 3 = -4 + 2 + 3 = 1 para encontrar x2 = 0 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + 1 cdot 3 = 0 + 1 + 3 = 4 :
x3 = 2 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + (-4) cdot 3 = 8 + 1 - 12 = -3
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Os valores das incógnitas são:
x1 = 1, x2 = 4, x3 = -3

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Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 times 4, onde k1, k2, k3, k4 e k5 são todos não-nulos.
(b) [cccc0 & 0 & 0 & k1 0 & 0 & k2 & 0 0 & k3 & 0 & 0 k4 & 0 & 0 & 0]
Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(b) [rrr-1 & 3 & -4 2 & 4 & 1 -4 & 2 & -9]
Resolva em x, y e z.
x y-2 raizy+3 z y & =8 2 x y-3 raizy+2 z y & =7 -x y+raizy+2 z y & =4
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
© (5 A^T)^-1=[rr-3 & -1 5 & 2]