Resolva em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
. O problema está relacionado à álgebra, especificamente à resolução de sistemas de equações lineares com uma pequena complicação: temos um termo com a raiz quadrada de
. Vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar o valor delas.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a resolução, vamos simplificar o termo que está com a raiz quadrada. Vamos fazer uma substituição:
Isso significa que sempre que vermos
, podemos substituir por
. Vamos aplicar essa substituição nas três equações:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
) e o parâmetro
.
Passo 3
Vamos organizar essas equações de forma mais clara:
Agora, temos um sistema linear em
e
. Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como o método da substituição ou da combinação linear.
Passo 4
Vamos usar o método da combinação linear para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 e a Equação 2 por 1 para facilitar a eliminação de
:
Agora, vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 modificada para eliminar
:
Simplificando:
Agora, temos
em termos de
.
Passo 5
Vamos substituir o valor de
que encontramos na Equação 3 para encontrar
. A Equação 3 é:
Substituindo
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Isolando
:
Agora, temos
em termos de
.
Passo 6
Agora que temos
e
em termos de
, precisamos encontrar o valor de
. Lembrando que
, precisamos que
seja tal que todas as equações sejam satisfeitas. Vamos usar a Equação 2 para substituir
e
em termos de
e resolver para
:
A Equação 2 é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo 22 de ambos os lados:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos encontrar
,
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
O sistema possui a solução: