Resolva em x, y e z.
x y-2 raizy+3 z y & =8 2 x y-3 raizy+2 z y & =7 -x y+raizy+2 z y & =4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . O problema está relacionado à álgebra, especificamente à resolução de sistemas de equações lineares com uma pequena complicação: temos um termo com a raiz quadrada de . Vamos precisar manipular as equações para isolar as variáveis e encontrar o valor delas.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a resolução, vamos simplificar o termo que está com a raiz quadrada. Vamos fazer uma substituição:
s = raizy Rightarrow y = s^2
Isso significa que sempre que vermos x s^2 - 2s + 3z s^2 &= 8 (Equação 1) 2x s^2 - 3s + 2z s^2 &= 7 (Equação 2) - x s^2 + s + 2z s^2 &= 4 (Equação 3) , podemos substituir por . Vamos aplicar essa substituição nas três equações:
çãçãçã
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ) e o parâmetro .

Passo 3

Vamos organizar essas equações de forma mais clara:
x s^2 + 3z s^2 &= 8 + 2s (Equação 1) 2x s^2 + 2z s^2 &= 7 + 3s (Equação 2) - x s^2 + 2z s^2 &= 4 - s (Equação 3) çãçãçã
Agora, temos um sistema linear em e . Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como o método da substituição ou da combinação linear.

Passo 4

Vamos usar o método da combinação linear para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação 1 por 2 e a Equação 2 por 1 para facilitar a eliminação de 2(x s^2 + 3z s^2) &= 2(8 + 2s) Rightarrow 2x s^2 + 6z s^2 = 16 + 4s (Equação 1 modificada) 2x s^2 + 2z s^2 &= 7 + 3s (Equação 2 original) :
(2x s^2 + 6z s^2) - (2x s^2 + 2z s^2) = (16 + 4s) - (7 + 3s) çãçã
Agora, vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 modificada para eliminar 4z s^2 = 9 + s Rightarrow z = 9 + s4s^2 :
Simplificando:
Agora, temos em termos de .

Passo 5

Vamos substituir o valor de - x s^2 + 2z s^2 = 4 - s que encontramos na Equação 3 para encontrar - x s^2 + 2(9 + s4s^2)s^2 = 4 - s . A Equação 3 é:
- x s^2 + 2(9 + s)s^24s^2 = 4 - s
Substituindo - x s^2 + 18 + 2s4 = 4 - s :
-4x s^2 + 18 + 2s = 16 - 4s
Simplificando:
-4x s^2 = 16 - 4s - 18 - 2s Rightarrow -4x s^2 = -2 - 6s
x = -2 - 6s-4s^2 = 2 + 6s4s^2 = 1 + 3s2s^2
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Isolando :
Agora, temos em termos de .

Passo 6

Agora que temos 2x s^2 + 2z s^2 = 7 + 3s e 2(1 + 3s2s^2)s^2 + 2(9 + s4s^2)s^2 = 7 + 3s em termos de (1 + 3s) + 2(9 + s)4 = 7 + 3s , precisamos encontrar o valor de 1 + 3s + 18 + 2s4 = 7 + 3s . Lembrando que 4(1) + 12s + 18 + 2s = 28 + 12s , precisamos que 4 + 12s + 18 + 2s = 28 + 12s seja tal que todas as equações sejam satisfeitas. Vamos usar a Equação 2 para substituir 22 + 14s = 28 + 12s e 22 + 2s = 28 em termos de 2s = 6 Rightarrow s = 3 e resolver para :
A Equação 2 é:
Substituindo e :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo 22 de ambos os lados:

Passo 7

Agora que encontramos y = s^2 = 3^2 = 9 , podemos encontrar x = 1 + 3s2s^2 = 1 + 3(3)2(3)^2 = 1 + 918 = 1018 = 59 , z = 9 + s4s^2 = 9 + 34(3)^2 = 1236 = 13 e :
Para :
Para :

Resposta

O sistema possui a solução:
x = 59, y = 9, z = 13

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
©
x1+3 x2+x3 & =4 2 x1+2 x2+x3 & =-1 2 x1+3 x2+x3 & =3
Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 times 4, onde k1, k2, k3, k4 e k5 são todos não-nulos.
(b) [cccc0 & 0 & 0 & k1 0 & 0 & k2 & 0 0 & k3 & 0 & 0 k4 & 0 & 0 & 0]
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
© (5 A^T)^-1=[rr-3 & -1 5 & 2]
Scja A a matriz
[ll 3 & 1 2 & 1 ]
Em cada parte encontre p(A).
© p(x)=x^3-2 x+4