encontrar as inversas das seguintes matrizes.
(a) [rrrr1 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a inversa de uma matriz 4x4 específica. O conteúdo que vamos usar aqui é da Álgebra Linear, mais precisamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer operações com linhas de matrizes e aplicar o método de matriz aumentada para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada onde colocamos a matriz original ao lado da matriz identidade 4x4. A ideia é transformar a matriz original na identidade usando operações de linha, e essas mesmas operações vão transformar a identidade na inversa. Então, nossa matriz aumentada fica assim:
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Vamos começar a simplificar a matriz para transformar a parte da esquerda (a original) na identidade. Primeiro, olhamos para a primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar essa linha para zerar os outros elementos daquela coluna.
Para zerar o elemento na posição (2,1), somamos a primeira linha com a segunda:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos na posição (3,1) e (4,1). Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira e da quarta linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Temos um 2 na posição (2,2). Vamos transformá-lo em 1 dividindo toda a segunda linha por 2:
Linha 2 = (1/2) * Linha 2
[cccc|cccc 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos agora zerar o elemento acima do 1 que acabamos de criar na segunda coluna. Para isso, subtraímos a segunda linha da primeira:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Na posição (3,3) já temos um 1. Vamos usar essa linha para zerar o elemento na posição (4,3). Para isso, somamos a terceira linha à quarta:
Linha 4 = Linha 4 + Linha 3
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 8

Finalmente, vamos lidar com a quarta coluna. Na posição (4,4) temos um 2. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a quarta linha por 2:
Linha 4 = (1/2) * Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0.5 & 0.5 ]

Passo 9

Agora, precisamos zerar o elemento acima do 1 na quarta coluna. Para isso, subtraímos a quarta linha da terceira:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & -0.5 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0.5 & 0.5 ]

Resposta

Pronto! Agora a parte da esquerda é a matriz identidade, e a parte da direita é a inversa da matriz original. Portanto, a inversa da matriz dada é:
A^-1 = [cccc 0.5 & -0.5 & 0 & 0 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & 0.5 & -0.5 -1 & 0 & 0.5 & 0.5 ]

Exercícios relacionados

Scja A a matriz
[ll 3 & 1 2 & 1 ]
Em cada parte encontre p(A).
© p(x)=x^3-2 x+4
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
© (5 A^T)^-1=[rr-3 & -1 5 & 2]
Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(a) (A B)^2=A^2 B^2 deve ser verdadeiro.
Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(d) Nunca é verdade que A B=B A.