(a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema
é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
(i) | (ii) | (iii) | (iv) | |
---|---|---|---|---|
Tamanho de A |
|
|
|
|
Posto de A | 2 | 4 | 0 | 3 |
Posto de [A-B] | 3 | 4 | 0 | 3 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente analisar vários sistemas lineares da forma
usando as informações da tabela fornecida. O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre sistemas lineares, posto de uma matriz e variáveis livres. Precisamos entender conceitos como quando um sistema tem soluções (é possível) e quantas variáveis podem ser livres na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema
ser possível, o posto da matriz
deve ser igual ao posto da matriz aumentada
. Ou seja, se
, então o sistema tem pelo menos uma solução.
Passo 3
Se o sistema tiver soluções, podemos determinar o número de variáveis livres na solução geral. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor, permitindo que a solução seja expressa de forma geral. O número de variáveis livres é igual ao número total de variáveis (que é o número de colunas de
) menos o posto de
:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada caso da tabela:
Caso (i):
- Tamanho de
: (ou seja, 3 variáveis) -
-
Como
, o sistema não tem solução.
Caso (ii):
- Tamanho de
: (5 variáveis) -
-
Aqui,
, então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iii):
- Tamanho de
: (4 variáveis) -
-
Novamente,
, então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iv):
- Tamanho de
: (3 variáveis) -
-
Aqui,
, então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Resposta
Resumindo:
- (i) O sistema não tem solução.
- (ii) O sistema tem solução com 1 variável livre.
- (iii) O sistema tem solução com 4 variáveis livres.
- (iv) O sistema tem solução com 0 variáveis livres.