(a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Tamanho de A
Posto de A
2
4
0
3
Posto de [A-B]
3
4
0
3
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente analisar vários sistemas lineares da forma usando as informações da tabela fornecida. O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre sistemas lineares, posto de uma matriz e variáveis livres. Precisamos entender conceitos como quando um sistema tem soluções (é possível) e quantas variáveis podem ser livres na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema ser possível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada . Ou seja, se , então o sistema tem pelo menos uma solução.
Passo 3
Se o sistema tiver soluções, podemos determinar o número de variáveis livres na solução geral. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor, permitindo que a solução seja expressa de forma geral. O número de variáveis livres é igual ao número total de variáveis (que é o número de colunas de ) menos o posto de :
Passo 4
Agora, vamos analisar cada caso da tabela:
Caso (i):
Tamanho de : (ou seja, 3 variáveis)
Como , o sistema não tem solução.
Caso (ii):
Tamanho de : (5 variáveis)
Aqui, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iii):
Tamanho de : (4 variáveis)
Novamente, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iv):
Tamanho de : (3 variáveis)
Aqui, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Resposta
Resumindo:
(i) O sistema não tem solução.
(ii) O sistema tem solução com 1 variável livre.
(iii) O sistema tem solução com 4 variáveis livres.
(iv) O sistema tem solução com 0 variáveis livres.