(a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema A X=B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justifique sua resposta.
(i) (ii) (iii) (iv)
Tamanho de A 3 times 3 9 times 5 4 times 4 3 times 3
Posto de A 2 4 0 3
Posto de [A-B] 3 4 0 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente analisar vários sistemas lineares da forma usando as informações da tabela fornecida. O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre sistemas lineares, posto de uma matriz e variáveis livres. Precisamos entender conceitos como quando um sistema tem soluções (é possível) e quantas variáveis podem ser livres na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um sistema ser possível, o posto da matriz deve ser igual ao posto da matriz aumentada . Ou seja, se , então o sistema tem pelo menos uma solução.

Passo 3

Se o sistema tiver soluções, podemos determinar o número de variáveis livres na solução geral. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor, permitindo que a solução seja expressa de forma geral. O número de variáveis livres é igual ao número total de variáveis (que é o número de colunas de Variáveis livres = Número de variáveis - posto(A) ) menos o posto de :
áúá

Passo 4

Agora, vamos analisar cada caso da tabela:
Caso (i):
  • Tamanho de 5 - 4 = 1 : 4 - 0 = 4 (ou seja, 3 variáveis)
  • 3 - 3 = 0
Como , o sistema não tem solução.
Caso (ii):
  • Tamanho de : (5 variáveis)
Aqui, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iii):
  • Tamanho de : (4 variáveis)
Novamente, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:
Caso (iv):
  • Tamanho de : (3 variáveis)
Aqui, , então o sistema tem soluções. O número de variáveis livres será:

Resposta

Resumindo:
  • (i) O sistema não tem solução.
  • (ii) O sistema tem solução com 1 variável livre.
  • (iii) O sistema tem solução com 4 variáveis livres.
  • (iv) O sistema tem solução com 0 variáveis livres.

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