Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(i) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial. Aqui, estamos trabalhando com o espaço e a função dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades que uma função deve ter para ser considerada um produto interno. Basicamente, precisamos checar se essa função satisfaz certas regras de simetria, linearidade e positividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que definem um produto interno. Uma função é um produto interno se, para todos os vetores em e para todo escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Simetria:
Linearidade no primeiro argumento:
Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar essas propriedades uma por uma para a função dada.
Passo 3
Simetria: Precisamos ver se .
Para a nossa função:
Observamos que , e . Portanto:
A simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade no primeiro argumento: Vamos verificar se .
Vamos calcular :
Distribuindo:
Isso pode ser reescrito como:
Ou seja:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.
Passo 5
Positividade: Precisamos mostrar que para todo em e que se e somente se .
Vamos calcular :
Como , e são todos maiores ou iguais a zero para quaisquer valores reais de , então:
Além disso, só ocorre se , o que só é possível se , ou seja, .
Resposta
Sim, a função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .