Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores u e v nos seguintes casos:
(iii) u=(-1,1,1) e v=(-2,10,2)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a medida em radianos do ângulo entre os vetores u = (-1, 1, 1) e v = (-2, 10, 2). Para isso, vamos usar o conteúdo de produto escalar entre vetores. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores, a norma de cada vetor e então aplicar a fórmula que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar ( u cdot v) dos vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Substituindo os valores dos vetores:
u cdot v = (-1)(-2) + (1)(10) + (1)(2) = 2 + 10 + 2 = 14

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou módulo) de cada vetor. A norma de um vetor w = (wx, wy, wz) é dada por:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Calculando a norma de u:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
E a norma de v:
|v| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculadas, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo ( theta) entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 14raiz3 cdot 6raiz3 = 1418 = 79

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (ou arccos):
theta = arccos(79)
Calculando o valor numérico:
theta approx arccos(0.7778) approx 0.684 radianos

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 0,684 radianos.

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